名古屋大学 1982年度
理系数学 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 図形と方程式、微分、積分
- 解法
- 置換、微分による最大最小、面積計算
- 難易度
- 7 / 10 計算量 6 / 10 目安 —
問題
曲線x3−2xy+y2=0のx≧0なる部分をCとする．C上の点でx座標の最大な点とy座標の最大な点を求めよ．またCで囲まれた図形の面積を求めよ．
出典：名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
方程式を y についての2次方程式と見て、y=x(1±1−x) と2枝に分ける。実点があるのは 0≦x≦1 なので、x 座標最大の点は x=1 から決まる。y 座標最大は上側の枝で調べ、t=1−x と置いて一変数の最大問題にする。面積は2枝の差 2x1−x を 0 から 1 まで積分する。
解答
曲線の方程式は x3−2xy+y2=0 である。これを y について整理すると y2−2xy+x3=0. 2次方程式として解くと y=22x±4x2−4x3=x±x1−x. したがって y=x(1±1−x) である。実数の点をもつには 1−x≧0 が必要であり、問題では x≧0 の部分を考えるので 0≦x≦1 である。
x 座標が最大の点
x の範囲は 0≦x≦1 なので、最大は x=1 である。このとき y=1(1±0)=1. したがって x 座標が最大の点は (1,1) である。
y 座標が最大の点
最大の y は上側の枝 y=x(1+1−x) で生じる。ここで t=1−x とおくと 0≦t≦1,x=1−t2. したがって y=(1−t2)(1+t)=(1−t)(1+t)2. 展開して y=1+t−t2−t3 であり、dtdy=1−2t−3t2=−(3t−1)(t+1). 0≦t≦1 では、最大は t=31 のときである。よって x=1−91=98,
y=(1−91)(1+31)=98⋅34=2732.
したがって y 座標が最大の点は (98,2732) である。
面積
上側の枝と下側の枝の差は x(1+1−x)−x(1−1−x)=2x1−x. したがって C で囲まれた図形の面積 S は S=∫012x1−xdx. u=1−x とおくと S=2∫01(1−u)u1/2du. よって S=2(32−52)=158. 別解の視点 y の最大を x のまま微分してもよいが、1−x が含まれるため式がやや重くなる。t=1−x と置くと y=(1−t)(1+t)2 となり、微分と符号判定が簡単になる。
