問題
，なる3角形の紙片がある．辺上に2点，を となるようにとり，線分，を折り目として折り曲げ，辺，を張り合わせて3角すい状の容器をつくる．この容積を最大にするにはの長さをどのようにすればよいか．
出典：名古屋大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
と置き、さらに として を対称に配置する。折り曲げ後に が貼り合わされた点を とし、底面を三角形 と見る。座標を置いて 、 から高さ を求め、体積 を の関数として最大化する。
解答
もとの三角形 は である。底辺 の中点を基準にすると、高さは である。 とおく。条件より である。また とおくと 折り曲げた後、点 と点 が張り合わされた点を とする。底面を三角形 として座標を置く。 対称性より は の垂直二等分面上にあるので とおける。
折り曲げても長さは変わらないので である。したがって 二つの式を引くと を代入して整理すると これを に代入すると 容器として立体になるには であり、最大値を考える範囲は である。
底面三角形 の面積は したがって体積は を最大にするには を最大にすればよい。そこで とおく。微分すると で となるのは より である。端では体積が0になり、この点で最大をとる。
したがって よって容積を最大にするには とすればよい。
別解の視点
折り曲げ後の立体を頭の中だけで追うより、底面 を固定し、貼り合わされた点 の高さを距離条件で決める方が確実である。 を使うと が対称に置けるため、 とでき、計算量が大きく減る。