名古屋大学 1981年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を3以上の自然数とし，関数 $f (x) = \frac{x ( x - n )}{x ^{2} + 1}$ の $x ≧ 0$ における最大値を $a_{n}$ とする． $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

絶対値の中身は $0 ≦ x ≦ n$ で非正、 $x ≧ n$ で非負になるので、まず区間を分ける。 $0 ≦ x ≦ n$ では $h_{n} (x) = x (n - x) / (x^{2} + 1)$ を微分し、分子 $n (1 - x^{2}) - 2 x$ が単調に減少することから最大点を1つに決める。 $x ≧ n$ では値が1未満であることを確認し、 $n ≧ 3$ では前者の最大値が少なくとも1なので前者だけを採用する。最後に最大点 $x_{n}$ を用いて $a_{n} / n$ の極限を取る。

解答

$0 ≦ x ≦ n$ では $x (x - n) ≦ 0$ なので $f (x) = \frac{x ( n - x )}{x ^{2} + 1}$ である。これを $h_{n} (x) = \frac{x ( n - x )}{x ^{2} + 1}$ とおく。微分すると $h_{n}^{'} (x) = \frac{( n - 2 x ) ( x ^{2} + 1 ) - 2 x ( n x - x ^{2} )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ であり、分子を整理して $h_{n}^{'} (x) = \frac{n ( 1 - x ^{2} ) - 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ となる。

分子 $N (x) = n (1 - x^{2}) - 2 x$ は $x ≧ 0$ で単調に減少する。また $N (0) = n > 0, N (1) = - 2 < 0$ であるから、 $0 < x < 1$ にただ1つの零点をもつ。その零点を $x_{n}$ とすると $n x_{n}^{2} + 2 x_{n} - n = 0$ より $x_{n} = \frac{n ^{2} + 1 - 1}{n}$ である。したがって $h_{n} (x)$ は $x = x_{n}$ で最大となる。

一方、 $x ≧ n$ では $f (x) = \frac{x ( x - n )}{x ^{2} + 1} < 1$ である。 $n ≧ 3$ のとき、 $0 ≦ x ≦ n$ 側では $h_{n} (1) = \frac{n - 1}{2} ≧ 1$ なので、全体の最大値は $h_{n} (x_{n})$ である。よって $a_{n} = h_{n} (x_{n})$ である。

したがって

\frac{a _{n}}{n} = \frac{x _{n} ( n - x _{n} )}{n ( x _{n}^{2} + 1 )} = \frac{x _{n} ( 1 - \frac{x _{n}}{n} )}{x _{n}^{2} + 1}

である。ここで $x_{n} = \frac{n ^{2} + 1 - 1}{n} \to 1, \frac{x _{n}}{n} \to 0$ であるから $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{n} = \frac{1}{2}$ である。よって $\frac{1}{2}$ である。

名古屋大学 1981年度理系数学 第3問

問題

方針

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理系数学第3問