問題
平面上で次の条件を満たす点全体の集合を求め，これを図示せよ．
点を通る直線で，と曲線とで囲まれた部分の面積がとなるものがある．
出典：名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
直線 と放物線の交点の 座標を と置く。直線は2点 を通るため であり、放物線との差は になる。面積は なので、条件から を得る。中点 で直線族を表し、点 がそのどれかに乗る必要十分条件を として求める。
解答
直線 が放物線 と交わる2点の 座標を とする。直線は , を通るので、その傾きは である。したがって直線の方程式は である。 では、直線と放物線の差は である。よって囲まれる部分の面積は である。 と置けば で である。これが に等しいので である。
そこで とおくと である。直線は と表される。
点 がこのような直線の一つの上にあることは、ある実数 について となることと同値である。右辺を平方完成すると である。したがって必要条件として が得られる。
逆に、この不等式が成り立つなら を満たす実数 が存在する。その に対応する直線は点 を通り、放物線との間に面積 の領域を作る。
よって求める集合は である。図示すると、放物線 とその下側全体であり、境界を含む。