名古屋大学 1981年度文系数学第3問(b) 解答・解説

問題

$n$ を正整数として，関係式

f (x) = (x - 1)^{n} + 2 \int_{0}^{1} f (t) d t

を満たす関数 $f (x)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1981年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)

方針

与式右辺に現れる $\int_{0}^{1} f (t) d t$ は $x$ によらない定数なので、これを $I$ と置く。すると $f (x) = (x - 1)^{n} + 2 I$ となる。両辺を $0$ から $1$ まで積分して $I$ の一次方程式を作り、 $\int_{0}^{1} (t - 1)^{n} d t = (- 1)^{n} / (n + 1)$ を用いて $I$ を決める。

解答

$I = \int_{0}^{1} f (t) d t$ とおく。これは $x$ によらない定数である。与えられた関係式は $f (x) = (x - 1)^{n} + 2 I$ と書ける。

両辺を $x = 0$ から $x = 1$ まで積分する。左辺は $I$ であり、右辺は $\int_{0}^{1} (x - 1)^{n} d x + 2 I$ である。ここで

\int_{0}^{1} (x - 1)^{n} d x = [\frac{( x - 1 ) ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}

である。したがって $I = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} + 2 I$ となり、 $I = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n + 1}$ を得る。

これをもとの式に戻して $f (x) = (x - 1)^{n} + \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n + 1}$ である。

確認すると、この関数について

\int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} + \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n + 1} = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n + 1}

であるから、確かに与式を満たす。

名古屋大学 1981年度文系数学 第3問(b)

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文系数学第3問(b)