名古屋大学 1981年度文系数学第2問解答・解説

問題

3次関数 $f (x) = x^{3} + p x + q$ について，次の(1)，(2)を証明せよ．

(1) $x = α$ （ $α ≧ 0$ とする）において $f (α) ≧ 0$ ， $f^{'} (α) ≧ 0$ が成り立つならば，方程式 $f (x) = 0$ の解は $x > α$ の範囲にはない．

(2) $α$ が3数1， $1 - p$ ， $1 - q$ のどれよりも大きいならば，方程式 $f (x) = 0$ の解は $x > α$ の範囲にはない．

出典：名古屋大学 1981年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

(1) は $f^{'} (x) = 3 x^{2} + p$ を $x > α ≧ 0$ で評価し、 $f^{'} (x) > f^{'} (α) ≧ 0$ から $f$ が $α$ より右で増加することを示す。(2) は仮定 $α > 1, α > 1 - p, α > 1 - q$ を $p > 1 - α, q > 1 - α$ と読み替え、 $f (α) > 0$ と $f^{'} (α) > 0$ を確認して (1) を適用する。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + p$ である。 $x > α ≧ 0$ ならば $x^{2} > α^{2}$ であるから $f^{'} (x) = 3 x^{2} + p > 3 α^{2} + p = f^{'} (α)$ である。仮定より $f^{'} (α) ≧ 0$ なので $f^{'} (x) > 0 (x > α)$ となる。したがって $f (x)$ は $x > α$ の範囲で増加する。

また仮定より $f (α) ≧ 0$ であるから、 $x > α$ では $f (x) > f (α) ≧ 0$ である。よって $x > α$ の範囲に $f (x) = 0$ を満たす解は存在しない。

(2)

仮定より $α > 1, p > 1 - α, q > 1 - α$ である。まず $f^{'} (α) = 3 α^{2} + p > 3 α^{2} + 1 - α$ である。 $α > 1$ だから $3 α^{2} + 1 - α > 0$ であり、したがって $f^{'} (α) > 0$ である。

次に $f (α) = α^{3} + p α + q$ である。 $α > 0$ なので、 $p > 1 - α$ に $α$ を掛けて $p α > α (1 - α)$ を得る。また $q > 1 - α$ であるから $f (α) > α^{3} + α (1 - α) + (1 - α)$ である。右辺は $α^{3} - α^{2} + 1 = α^{2} (α - 1) + 1$ であり、 $α > 1$ だから正である。よって $f (α) > 0$ である。

以上より (1) の条件が成り立つので、方程式 $f (x) = 0$ の解は $x > α$ の範囲にはない。

名古屋大学 1981年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1981年度
文系数学第2問