問題
を自然数とする．より小さい自然数を，（はなる整数）と表し，とおく．このとき， の最小値とそれを与える自然数をすべて求めよ．
出典：名古屋大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(a)
方針
十進法で下位から見て最初に0でない桁を とする。 を筆算で求めると、 桁目は 、その上の桁は になる。これを と足すと、実際の数字 は消え、 だけが残る。したがって最小にするには を最大、つまり にすればよい。
解答
であるから、下位から見て初めて0でない数字が現れる位置がある。すなわち となる整数 がただ一つ定まる。ただし である。 を十進法の筆算で考える。下位 桁は0のままで、 桁目で初めて借り下がりが起こる。したがって の各桁は、 桁目から 桁目までは0、 桁目は であり、 桁目から 桁目までは である。よって である。
一方、 の桁和は である。したがって となる。
この値は が大きいほど小さい。最大の は なので、最小値は である。このとき であるから である。
よって最小値は であり、それを与える自然数は である。