九州大学 2026年度文系数学第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $2$ が無理数であることを示せ。

(2) $n$ を自然数とする。 $(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n}$ が整数となるための， $n$ がみたすべき必要十分条件を求めよ。

出典：九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

(1) は $2 = p / q$ と仮定し，互いに素な整数表示から偶奇の矛盾を出す。(2) は二項定理で $(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n}$ を展開し， $1^{j} + (- 1)^{j}$ により偶数番目の項だけが残ることを見る。 $n$ が偶数なら残る $(2)^{n - j}$ は整数， $n$ が奇数なら全体が $2$ の正の整数倍になるため，(1) を使って整数でないと示す。

解答

(1)

$2$ が有理数であると仮定する。このとき，互いに素な自然数 $p, q$ を用いて $2 = \frac{p}{q}$ と表せる。両辺を2乗すると $2 = \frac{p ^{2}}{q ^{2}}$ であるから $p^{2} = 2 q^{2}$ となる。したがって $p^{2}$ は偶数であり， $p$ も偶数である。そこで $p = 2 p_{1}$ とおくと $4 p_{1}^{2} = 2 q^{2}$ より $q^{2} = 2 p_{1}^{2}$ である。よって $q^{2}$ も偶数であり， $q$ も偶数である。これは $p, q$ が互いに素であることに反する。したがって $2 は無理数である$ ことが示された。

(2)

二項定理より $(2 + 1)^{n} = \sum_{j = 0}^{n}_{n} C_{j} (2)^{n - j}$ であり，また $(2 - 1)^{n} = \sum_{j = 0}^{n}_{n} C_{j} (2)^{n - j} (- 1)^{j}$ である。したがって和をとると

(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n} = j = 0 \sum n_{n} C_{j} (2)^{n - j} {1 + (- 1)^{j}}

である。ここで $j$ が奇数のときは $1 + (- 1)^{j} = 0$ ， $j$ が偶数のときは $1 + (- 1)^{j} = 2$ である。よって偶数の $j$ に対応する項だけが残る。 $n$ が偶数のとき，残る項では $j$ も偶数なので， $n - j$ は偶数である。したがって $(2)^{n - j} = 2^{(n - j) /2}$ は整数であり，各項は整数である。よって全体も整数である。

次に $n$ が奇数のときを考える。このとき，残る項では $j$ が偶数であるから， $n - j$ は奇数である。よって各項は $_{n} C_{j} (2)^{n - j} \cdot 2 = 2 \times {正の整数}$ の形である。残る各項の係数はすべて正なので，和は $2 M$ と表せる。ただし $M$ は正の整数である。もしこの値が整数なら， $2 = \frac{2 M}{M}$ となり， $2$ が有理数になってしまう。これは (1) に反する。したがって $n$ が奇数のときは整数ではない。

以上より，必要十分条件は $n が偶数であること$ である。

九州大学 2026年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2026年度
文系数学第3問