九州大学 2026年度文系数学第2問解答・解説

問題

座標空間内の4点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (1, 1, 1)$ ， $B (2, 2, 0)$ ， $C (4, 2, 2)$ と球面

S : (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1

を考える。3点 $A, B, C$ を通る平面を $α$ とする。また，点 $P$ は $S$ 上にあり，以下の2つの条件をみたすとする。

● 直線 $O P$ は $α$ と直交する。

● 点 $P$ の $y$ 座標は $- 1$ 以下である。

以下の問いに答えよ。

(1) $P$ の座標を求めよ。

(2) $P$ から $α$ に下ろした垂線と $α$ の交点を $H$ とする。このとき

O H = O A + s A B + t A C

をみたす実数 $s, t$ を求めよ。

(3) 四面体 $A B C P$ の体積を求めよ。

出典：九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

まず $A B, A C$ から平面 $α$ の法線ベクトルを求め，平面方程式を出す。直線 $O P$ が $α$ に直交するので， $P$ はその法線ベクトルの実数倍で表せる。球面条件で候補を2つ出し， $y ≦ - 1$ で選ぶ。(2) では垂線の足 $H$ が同じ直線 $O P$ と $α$ の交点であることを使い，最後に $O A + s A B + t A C$ の係数比較を行う。体積は底面 $A B C$ の面積と， $P$ から $α$ までの距離で求める。

解答

(1)

A B = B - A = (1, 1, - 1), A C = C - A = (3, 1, 1)

である。平面 $α$ に垂直なベクトルを $(l, m, n)$ とすると， $l + m - n = 0, 3 l + m + n = 0$ を満たせばよい。この連立条件から，例えば $(l, m, n) = (1, - 2, - 1)$ をとることができる。したがって $α$ は点 $A (1, 1, 1)$ を通り，法線ベクトル $(1, - 2, - 1)$ をもつ平面であるから $(x - 1) - 2 (y - 1) - (z - 1) = 0$ すなわち $α : x - 2 y - z + 2 = 0$ である。

直線 $O P$ は $α$ と直交するので， $O P$ の方向はこの法線方向である。よって $P = λ (1, - 2, - 1)$ とおける。これを球面 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$ に代入すると $(λ - 1)^{2} + (- 2 λ + 1)^{2} + (- λ + 1)^{2} = 1$ である。整理して $6 λ^{2} - 8 λ + 2 = 0$ すなわち $3 λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$ を得る。よって $(3 λ - 1) (λ - 1) = 0$ より $λ = \frac{1}{3}, λ = 1$ である。点 $P$ の $y$ 座標は $- 2 λ$ であり，これが $- 1$ 以下であるから $- 2 λ ≦ - 1 ⟺ λ ≧ \frac{1}{2}$ である。したがって $λ = 1$ を選び， $P = (1, - 2, - 1)$ である。

(2)

$P$ から $α$ に下ろした垂線は直線 $O P$ と同じ方向である。したがって垂線の足 $H$ は，直線 $O P$ と平面 $α$ の交点である。 $H = μ (1, - 2, - 1)$ とおくと， $H$ が $α$ 上にあることから $μ - 2 (- 2 μ) - (- μ) + 2 = 0$ すなわち $6 μ + 2 = 0$ である。よって $μ = - \frac{1}{3}$ となり， $H = (- \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ である。

一方，

O A + s A B + t A C = (1, 1, 1) + s (1, 1, - 1) + t (3, 1, 1)

であるから

O A + s A B + t A C = (1 + s + 3 t, 1 + s + t, 1 - s + t)

である。これが $O H$ に等しいので

⎩ ⎨ ⎧ 1 + s + 3 t = - \frac{1}{3}, 1 + s + t = \frac{2}{3}, 1 - s + t = \frac{1}{3}

を得る。第1式から第2式を引くと $2 t = - 1$ より $t = - \frac{1}{2}$ である。これを第2式に代入して $1 + s - \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ より $s = \frac{1}{6}$ である。したがって $s = \frac{1}{6}, t = - \frac{1}{2}$ である。

(3)

三角形 $A B C$ の面積を求める。 $A B$ と $A C$ に垂直なベクトルとして $(2, - 4, - 2) = 2 (1, - 2, - 1)$ がとれるので，平行四辺形の面積は $2^{2} + (- 4)^{2} + (- 2)^{2} = 24 = 26$ である。したがって三角形 $A B C$ の面積は $6$ である。

次に，点 $P (1, - 2, - 1)$ から平面 $α : x - 2 y - z + 2 = 0$ までの距離は $\frac{∣1 - 2 ( - 2 ) - ( - 1 ) + 2∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{8}{6}$ である。よって四面体 $A B C P$ の体積は $\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{8}{6} = \frac{8}{3}$ である。

九州大学 2026年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2026年度
文系数学第2問