問題
以下の問いに答えよ。
(1) 関数が極値をとるときのの値を求めよ。また，そのときの極値を求めよ。
(2) 座標平面上の曲線と，点を通る傾き1の直線を考える。とで囲まれる領域の面積を求めよ。
出典：九州大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1) は導関数を因数分解し，符号表で極大・極小を判定する。値の代入まで行い，極値をとる と極値を対応させる。(2) は直線を とし， を とそれ以外で分ける。交点は で，，， では上下が変わるので，それぞれの上下差を正にして積分する。
解答
(1)
より である。したがって となるのは である。導関数の符号を調べると， で正， で負， で正である。よって で極大， で極小となる。
それぞれの値は であり， である。したがって である。
(2)
点 を通り傾きが の直線は である。また
である。
まず では，交点は すなわち より である。次に または では，交点は すなわち より である。よって囲まれる部分は と にまたがるが， で絶対値の中身が切り替わるため，面積は3つに分けて計算する。 では曲線 が直線より上にあり， では直線が曲線 より上にある。また では直線が曲線 より上にある。したがって求める面積は
それぞれ
である。よって である。