問題
半径1の円周上に反時計回りに点を順にとり，線分は直径で，，が成り立つとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) 線分と線分の交点をとするとき，三角形の面積を求めよ。
出典：九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
半径1の円で，等しい弦は等しい中心角に対応する。 が直径なので半円の中心角は であり， から ，さらに から とわかる。(1)(2)は円周角と弦長公式で処理する。(3)は単位円上に と座標を置き，直線 と の交点 を求め，底辺・高さまたは行列式で三角形 の面積を計算する。
解答
(1)
円の中心を とする。 は直径で，点 はこの順に円周上にあるので，弧 に対応する中心角は である。
であり，半径1の同じ円で等しい弦は等しい中心角に対応するから， である。また より，同様に である。
は弧 に対する円周角であり，その弧に対する中心角は である。したがって である。
(2)
弦 に対応する中心角は である。半径1の円で中心角 に対応する弦の長さは だから， である。半角公式より
であり， だから である。
(3)
座標を
とおく。この配置は， が円周上に反時計回りに並び，上で求めた中心角を満たしている。
直線 は， と を通るので である。直線 は， と を通る。交点 を求めると である。実際，この点は を満たし，かつ直線 上にもある。
三角形 の面積を， を基準にした2つのベクトル
で計算する。面積は
である。中を整理すると なので，面積は である。
したがって，三角形 の面積は である。