問題
座標空間内の3点，，を通る平面をとする。点を通りに垂直な直線と平面との交点をとする。
(1) 点の座標を求めよ。
(2) がすべての実数値をとって変化するときのの最小値が1以下となるようなの条件を求めよ。ただし，は原点である。
出典：九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
まず と から平面 の法線ベクトルを求める。 を通り に垂直な直線はその法線方向に進むので， となるパラメータを代入すれば が得られる。(2)では が動くときの の軌跡が 平面上の直線 であることを使い，原点からその直線までの距離が1以下となる条件に直す。別解として， を の二次関数として直接最小化してもよい。
解答
(1)
3点から
である。平面 に垂直なベクトルとして，これらの両方に垂直なベクトルをとる。
実際， かつ であるから， は平面 の法線ベクトルである。
したがって， を通り に垂直な直線は と表される。 平面との交点では だから， より である。よって である。
(2)
がすべての実数値をとるとき， の 平面上の座標は である。したがって は，点 を通り方向ベクトル をもつ直線上を動く。
原点からこの直線までの距離が， の最小値である。点 と方向ベクトル で決まる直線までの原点からの距離は である。したがって， の最小値が1以下となる条件は すなわち である。
別解。(2)は二次関数として直接最小化してもよい。(1)より である。展開すると であり，これは の二次関数である。最小値は でとり，そのとき となる。よって は すなわち同じく である。