九州大学 2025年度理系数学第2問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $y = tan x$ とするとき， $\frac{d y}{d x}$ を $y$ の整式で表せ。

(2) 次の定積分を求めよ。

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{tan ^{4} x - tan ^{2} x - 2}{tan ^{2} x - 4} d x

出典：九州大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は $y = tan x$ の微分公式から $d y / d x = 1 + y^{2}$ とする。(2)は誘導どおり $y = tan x$ と置換し， $x = 0$ から $y = 0$ ， $x = π /4$ から $y = 1$ ， $d x = d y / (1 + y^{2})$ を代入する。分子 $y^{4} - y^{2} - 2$ が $(y^{2} - 2) (y^{2} + 1)$ と因数分解できるため， $1 + y^{2}$ が消えて簡単な有理式になる。最後は $2/ (y^{2} - 4)$ を部分分数分解し，区間 $0 ≦ y ≦ 1$ で絶対値付き対数の中身を丁寧に評価する。

解答

(1)

$y = tan x$ であるから， $\frac{d y}{d x} = 1 + tan^{2} x$ である。したがって $y$ を用いると $\frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ である。

(2)

$y = tan x$ とおく。(1)より $d x = \frac{d y}{1 + y ^{2}}$ である。また， $x = 0$ のとき $y = 0$ ， $x = \frac{π}{4}$ のとき $y = 1$ である。

したがって，求める積分を $I$ とすると

I = \int_{0}^{1} \frac{y ^{4} - y ^{2} - 2}{( y ^{2} - 4 ) ( 1 + y ^{2} )} d y .

ここで $y^{4} - y^{2} - 2 = (y^{2} - 2) (y^{2} + 1)$ であるから， $I = \int_{0}^{1} \frac{y ^{2} - 2}{y ^{2} - 4} d y$ となる。さらに $\frac{y ^{2} - 2}{y ^{2} - 4} = 1 + \frac{2}{y ^{2} - 4}$ である。

部分分数分解すると

\frac{2}{y ^{2} - 4} = \frac{2}{( y - 2 ) ( y + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})

である。よって

I = \int_{0}^{1} {1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})} d y = [y + \frac{1}{2} lo g ∣ y - 2∣ - \frac{1}{2} lo g ∣ y + 2∣]_{0}^{1} .

ここで $0 ≦ y ≦ 1$ では $y - 2 < 0$ ， $y + 2 > 0$ である。したがって

I = 1 + \frac{1}{2} (lo g 1 - lo g 3) - \frac{1}{2} (lo g 2 - lo g 2) = 1 - \frac{1}{2} lo g 3.

よって求める値は $1 - \frac{1}{2} lo g 3$ である。

九州大学 2025年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2025年度
理系数学第2問