九州大学 2024年度理系数学第5問解答・解説

問題

自然数 $m, n$ に対して

I (m, n) = \int_{1}^{e} x^{m} e^{x} (lo g x)^{n} d x

とする。以下の問いに答えよ。

(1) $I (m + 1, n + 1)$ を $I (m, n + 1), I (m, n), m, n$ を用いて表せ。

(2) すべての自然数 $m$ に対して， $n \to \infty lim I (m, n) = 0$ が成り立つことを示せ。

出典：九州大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

(1) は $e^{x}$ を積分する側， $x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}$ を微分する側として部分積分する。端点では $lo g e = 1$ ， $lo g 1 = 0$ を使い，残った積分を $I (m, n + 1)$ と $I (m, n)$ に直す。(2) は被積分関数が非負であることを使い， $1 ≦ x ≦ e$ で $x^{m} e^{x} ≦ e^{m + e}$ と定数で押さえる。さらに $u = lo g x$ で $\int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x$ を $O (1/ n)$ に評価してはさみうちを行う。

解答

(1)

$I (m + 1, n + 1) = \int_{1}^{e} x^{m + 1} e^{x} (lo g x)^{n + 1} d x$ である。 $e^{x}$ を積分し， $x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}$ を微分する部分積分を行うと，

I (m + 1, n + 1) = [x^{m + 1} e^{x} (lo g x)^{n + 1}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} e^{x} {(m + 1) x^{m} (lo g x)^{n + 1} + (n + 1) x^{m} (lo g x)^{n}} d x

である。

端点では $lo g e = 1$ ， $lo g 1 = 0$ だから $[x^{m + 1} e^{x} (lo g x)^{n + 1}]_{1}^{e} = e^{m + 2}$ である。また残りの2つの積分はそれぞれ $I (m, n + 1), I (m, n)$ である。したがって $I (m + 1, n + 1) = e^{m + 2} - (m + 1) I (m, n + 1) - (n + 1) I (m, n)$ である。

(2)

$1 ≦ x ≦ e$ では $(lo g x)^{n} ≧ 0$ であり， $x^{m} e^{x} ≧ 0$ でもある。したがって $I (m, n) ≧ 0$ である。また $1 ≦ x ≦ e$ より $x^{m} ≦ e^{m}, e^{x} ≦ e^{e}$ とも評価できるが，ここではより簡単に， $x ≦ e$ ， $e^{x} ≦ e^{e}$ から定数で上から押さえれば十分である。特に $0 ≦ x^{m} e^{x} ≦ e^{m} e^{e}$ であるから $0 ≦ I (m, n) ≦ e^{m + e} \int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x$ である。

ここで $u = lo g x$ とおくと， $d x = e^{u} d u$ ， $0 ≦ u ≦ 1$ である。よって $\int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x = \int_{0}^{1} u^{n} e^{u} d u$ である。 $0 ≦ u ≦ 1$ では $e^{u} ≦ e$ なので $\int_{0}^{1} u^{n} e^{u} d u ≦ e \int_{0}^{1} u^{n} d u = \frac{e}{n + 1}$ となる。したがって $0 ≦ I (m, n) ≦ \frac{e ^{m + e + 1}}{n + 1}$ である。

右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づく。よって，はさみうちの原理により $lim_{n \to \infty} I (m, n) = 0$ である。

九州大学 2024年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2024年度
理系数学第5問