問題
を実数とし，座標空間内の3点，，を考える。以下の問いに答えよ。
(1) ，のとき，3点は一直線上にないことを示せ。
(2) がの範囲を動くとき，三角形の面積の最大値を求めよ。
出典：九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1) は直線 の点が と表せることを使う。 がこの直線上にあるなら が必要である。(2) は を底辺とし， から直線 までの距離を最小化で求める。距離の2乗を について平方完成し，面積の2乗を の関数 に直して最大値を調べる。
解答
(1)
， であるから，直線 上の点は の形で表される。実際， も も ， を満たし，この2条件で直線 が表される。
もし3点 が一直線上にあるなら， も直線 上にある。したがって少なくとも でなければならない。これは を意味する。よって ， のとき，3点 は一直線上にない。
(2)
直線 上の点を とおく。点 からこの点までの距離の2乗は である。 を含む部分について平方完成すると，
である。したがって，距離の2乗の最小値は である。これを整理すると となる。
また である。三角形 の面積を とすると，底辺を ，高さを から直線 までの距離として である。よって となる。
ここで とおくと， より である。最大にすべき関数は である。展開すると であり， では だから単調に減少する。したがって最大は ，すなわち のときである。
このとき なので，三角形 の面積の最大値は である。