問題
整式
について，以下の問いに答えよ。
(1) をみたすすべての複素数に対して，が成り立つことを示せ。
(2) 次の条件をみたす複素数をすべて求めよ。
条件：をみたすすべての複素数に対してが成り立つ。
方針
を使い， の解は かつ を満たす8乗根であると捉える。(2) では，解全体に を掛けても解に入る条件を調べる。まず任意の解から を得て，さらに だと が解になって を生むため矛盾する。別解では8乗根を指数で表し，除外される指数 を保つずらしだけを調べる。
解答
(1)
であるから である。また なので， を満たす については である。
したがって なら であり， となる。両辺の絶対値をとると である。 だから である。
(2)
(1)の議論より， の解は を満たす複素数全体である。
条件を満たす を考える。 を満たす任意の について であるから，特に である。ここで なので が必要である。
次に と仮定する。 であるから， とおくと である。また より である。したがって は の解である。
しかしこの に対しては であり， である。これは条件に反する。よって でなければならない。したがって である。
逆に， のときは明らかに条件を満たす。 のときも，， なら なので である。したがって求める複素数は である。
別解。 の解は，8乗根のうち を除いたものである。 を を満たす基本的な8乗根とすると，解は である。つまり，指数を で割った余りで見ると， と だけが除かれている。 が条件を満たすなら， 自身も8乗根でなければならないから と書ける。 に を掛けることは，指数をすべて だけずらすことにあたる。解の集合が解の集合に移るには，除外される指数の組 もずらして同じ組に戻らなければならない。したがって であり， または である。よって だけである。