九州大学 2023年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$x=t+2{\sin }^{2}t,y=t+\sin t$ であるから $\frac{dx}{dt}=1+4\sin t\cos t=1+2\sin 2t$ である。$y$ 軸と平行な接線をもつためには $\frac{dx}{dt}=0$ が必要である。よって $1+2\sin 2t=0$ すなわち $\sin 2t=-\frac{1}{2}$ を解く。$0<t<\pi$ より $0<2t<2\pi$ なので、$2t=\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$ である。したがって $t=\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}$ の2つが候補である。

また $\frac{dy}{dt}=1+\cos t$ であり、$0<t<\pi$ では $1+\cos t\ne 0$ である。したがってこれら2点では実際に鉛直接線をもつ。よって、$y$ 軸と平行な接線は $2\text{本}$ である。

(2)

まず $x-y=2{\sin }^{2}t-\sin t=\sin t(2\sin t-1)$ である。$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ だから、$y\leqq x$、すなわち $x-y\geqq 0$ となるのは $\sin t\geqq \frac{1}{2}$ のときである。したがって対象となる曲線部分は $\frac{\pi }{6}\leqq t\leqq \frac{5\pi }{6}$ である。この両端では $x=y$ となり、曲線は直線 $y=x$ と交わる。

曲線部分を $t=\frac{\pi }{6}$ から $t=\frac{5\pi }{6}$ まで進み、直線 $y=x$ 上を戻る閉曲線を考える。直線上では $y=x$ であるから、媒介変数表示の面積公式を用いると、求める面積 $S$ は $S={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(x-y)\frac{dx}{dt}dt$ で与えられる。これは、直線部分の寄与を合わせると $\int xdx$ が端点で打ち消されるためである。

したがって

である。第2の積分は ${\left[2{\sin }^{4}t-\frac{4}{3}{\sin }^{3}t\right]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}$ であり、両端で $\sin t=\frac{1}{2}$ なので $0$ になる。

一方、$2{\sin }^{2}t-\sin t=1-\cos 2t-\sin t$ であるから

である。よって求める面積は $\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。