問題
以下の問いに答えよ。
(1) 4次方程式を解け。
(2) 複素数平面上のの頂点を表す複素数をそれぞれ，，とする。
が成り立つとき，はどのような三角形になるか答えよ。
出典：九州大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1) は係数が左右対称なので、 が解でないことを確認してから で割り、 による相反方程式として解く。(2) は 、 とおき、 を使って4乗和を因数分解する。最後に の偏角と絶対値から3辺の長さが等しいことを示す。
解答
(1)
は方程式の解でない。そこで両辺を で割ると である。これは と書ける。したがって であり、 となる。両辺に をかけて を得る。よって である。なお、もとの4次式は であり、これらは重解である。
(2)
とおくと である。条件は となる。左辺を展開すると であるから、 を得る。
三角形 を考えているので、 である。両辺を で割ると である。ここで とおくと となるので、(1) より である。したがって は絶対値が で、偏角が の複素数である。
よって である。また、 の偏角が であるから、 の絶対値も である。したがって である。すなわち となる。三角形 の3辺の長さがすべて等しいので、 は正三角形である。