九州大学 2023年度理系数学第4問解答・解説

問題

以下の文章を読んで後の問いに答えよ。

三角関数 $cos x$ ， $sin x$ については加法定理が成立するが，逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数 $f (x)$ ， $g (x)$ が以下の条件を満たすとする。

(A) すべての $x$ ， $y$ について $f (x + y) = f (x) f (y) - g (x) g (y)$

(B) すべての $x$ ， $y$ について $g (x + y) = f (x) g (y) + g (x) f (y)$

(D) $f (x)$ ， $g (x)$ は $x = 0$ で微分可能で $f^{'} (0) = 0$ ， $g^{'} (0) = 1$

(1)条件(A)，(B)，(C)から $f (0) = 1$ ， $g (0) = 0$ がわかる。

以上のことから(2) $f (x)$ ， $g (x)$ はすべての $x$ の値で微分可能で，
$f^{'} (x) = - g (x)$ ， $g^{'} (x) = f (x)$ が成立することが示される。

(3)上のことから ${f (x) + i g (x)} (cos x - i sin x) = 1$ であることが，
実部と虚部を調べることによりわかる。ただし $i$ は虚数単位である。

よって条件(A)，(B)，(C)，(D)を満たす関数は三角関数 $f (x) = cos x$ ， $g (x) = sin x$ であることが示される。
さらに， $a$ ， $b$ を実数で $b \neq = 0$ とする。このとき条件(D)をより一般的な

(D)' $f (x)$ ， $g (x)$ は $x = 0$ で微分可能で $f^{'} (0) = a$ ， $g^{'} (0) = b$

におきかえて，条件(A)，(B)，(C)，(D)'を満たす $f (x)$ ， $g (x)$ はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも，条件(A)，(B)，(C)から $f (0) = 1$ ， $g (0) = 0$ が上と同様にわかる。ここで

p (x) = e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b}), q (x) = e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b})

とおくと，(4)条件(A)，(B)，(C)，(D)において，
$f (x)$ を $p (x)$ に， $g (x)$ を $q (x)$ におきかえた条件が満たされる。

すると前半の議論により， $p (x)$ ， $q (x)$ がまず求まり，このことを用いると $f (x) =$ [　ア　]， $g (x) =$ [　イ　]が得られる。

(1) 下線部(1)について， $f (0) = 1$ ， $g (0) = 0$ となることを示せ。

(2) 下線部(2)について， $f (x)$ がすべての $x$ の値で微分可能な関数であり， $f^{'} (x) = - g (x)$ となることを示せ。

(3) 下線部(3)について，下線部(1)，下線部(2)の事実を用いることにより， ${f (x) + i g (x)} (cos x - i sin x) = 1$ となることを示せ。

(4) 下線部(4)について，条件(B)，(D)において， $f (x)$ を $p (x)$ に， $g (x)$ を $q (x)$ におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり $p (x)$ と $q (x)$ が，

(B) すべての $x$ ， $y$ について $q (x + y) = p (x) q (y) + q (x) p (y)$

(D) $p (x)$ ， $q (x)$ は $x = 0$ で微分可能で $p^{'} (0) = 0$ ， $q^{'} (0) = 1$

を満たすことを示せ。また空欄[　ア　]，[　イ　]に入る関数を求めよ。

出典：九州大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

加法定理型の条件に、まず $x = y = 0$ を代入して初期値を決める。次に $f (x + h) - f (x)$ を条件(A)で展開し、 $h \to 0$ の差分商から任意の $x$ での微分可能性と $f^{'} (x) = - g (x)$ を示す。(3) では同様に得られる $g^{'} (x) = f (x)$ も使い、 $f cos + g sin$ と $g cos - f sin$ の2つの実関数が定数であることを示す。一般の $a, b$ では指数因子と変数変換で $p, q$ を標準形に直し、最後に $x = b t$ と戻す。

解答

(1)

$F = f (0)$ 、 $G = g (0)$ とおく。条件(A)で $x = y = 0$ とすると $F = F^{2} - G^{2}$ である。また条件(B)で $x = y = 0$ とすると $G = 2 F G$ である。

もし $G \neq = 0$ なら、 $G = 2 F G$ より $F = \frac{1}{2}$ である。これを $F = F^{2} - G^{2}$ に代入すると $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} - G^{2}$ となり、 $G^{2} = - \frac{1}{4}$ を意味する。これは $G$ が実数であることに反する。したがって $G = 0$ である。

すると $F = F^{2}$ であり、条件(C)より $F \neq = 0$ だから $F = 1$ である。よって $f (0) = 1, g (0) = 0$ である。

(2)

任意の実数 $x$ を固定し、 $h$ を $0$ に近づける。条件(A)より $f (x + h) = f (x) f (h) - g (x) g (h)$ であるから、(1) の $f (0) = 1$ を用いて $f (x + h) - f (x) = f (x) {f (h) - 1} - g (x) g (h)$ となる。両辺を $h$ で割ると $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f (x) \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} - g (x) \frac{g ( h ) - g ( 0 )}{h}$ である。

条件(D)より $f$ と $g$ は $0$ で微分可能で、 $f^{'} (0) = 0$ 、 $g^{'} (0) = 1$ である。したがって $h \to 0$ とすると右辺は $f (x) \cdot 0 - g (x) \cdot 1 = - g (x)$ に収束する。よって $f (x)$ は任意の $x$ で微分可能であり、 $f^{'} (x) = - g (x)$ が成り立つ。

(3)

同じように条件(B)から $g (x + h) - g (x) = f (x) g (h) + g (x) {f (h) - 1}$ である。両辺を $h$ で割って $h \to 0$ とすれば $g^{'} (x) = f (x)$ を得る。

ここで $U (x) = f (x) cos x + g (x) sin x, V (x) = g (x) cos x - f (x) sin x$ とおく。 $f^{'} (x) = - g (x)$ 、 $g^{'} (x) = f (x)$ を用いると $U^{'} (x) = f^{'} (x) cos x - f (x) sin x + g^{'} (x) sin x + g (x) cos x = 0$ であり、 $V^{'} (x) = g^{'} (x) cos x - g (x) sin x - f^{'} (x) sin x - f (x) cos x = 0$ である。したがって $U (x), V (x)$ はともに定数である。 $x = 0$ を代入すると、(1) より $U (0) = 1, V (0) = 0$ である。よってすべての $x$ で $U (x) = 1, V (x) = 0$ である。ところが ${f (x) + i g (x)} (cos x - i sin x) = U (x) + iV (x)$ であるから ${f (x) + i g (x)} (cos x - i sin x) = 1$ が成り立つ。

(4)

p (x) = e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b}), q (x) = e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b})

とおく。まず条件(B)を確認する。任意の $x, y$ について、もとの条件(B)より

g (\frac{x + y}{b}) = f (\frac{x}{b}) g (\frac{y}{b}) + g (\frac{x}{b}) f (\frac{y}{b})

である。よって

q (x + y) = e^{- \frac{a}{b} (x + y)} g (\frac{x + y}{b}) = e^{- \frac{a}{b} x} f (\frac{x}{b}) e^{- \frac{a}{b} y} g (\frac{y}{b}) + e^{- \frac{a}{b} x} g (\frac{x}{b}) e^{- \frac{a}{b} y} f (\frac{y}{b}) = p (x) q (y) + q (x) p (y)

となる。

次に条件(D)を確認する。一般の場合でも $f (0) = 1$ 、 $g (0) = 0$ であり、条件(D)'より $f^{'} (0) = a$ 、 $g^{'} (0) = b$ である。したがって $p^{'} (0) = - \frac{a}{b} f (0) + \frac{1}{b} f^{'} (0) = - \frac{a}{b} + \frac{a}{b} = 0$ であり、 $q^{'} (0) = - \frac{a}{b} g (0) + \frac{1}{b} g^{'} (0) = 0 + 1 = 1$ である。よって $p, q$ は条件(D)を満たす。

なお、条件(A)についても同じ計算で $p (x + y) = p (x) p (y) - q (x) q (y)$ が成り立ち、 $p (0) = 1 \neq = 0$ であるから条件(C)も満たす。したがって前半の結果を $p, q$ に適用でき、 $p (x) = cos x, q (x) = sin x$ である。 $x = b t$ とおくと $p (b t) = e^{- a t} f (t) = cos b t, q (b t) = e^{- a t} g (t) = sin b t$ である。したがって $f (t) = e^{a t} cos b t, g (t) = e^{a t} sin b t$ を得る。変数名を $x$ に戻せば、空欄は $[ア] e^{a x} cos b x, [イ] e^{a x} sin b x$ である。

九州大学 2023年度理系数学 第4問

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(1)

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理系数学第4問