九州大学 2023年度
文系数学 第4問

解答

(1)

$x^3=1$ より $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ である。虚数解は $\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ であり、虚部が正であるものは $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。したがって ${\omega }^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\overline{\omega }$ となる。

(2)

$q_n=P(z_n=0)$ とおく。$z_k=0$ のときは、次の $z_{k+1}={\omega }^t$ は必ず $1,\omega ,{\omega }^2$ のいずれかであり、$0$ にはならない。一方、$z_k\ne 0$ のときは、さいころの目が $1,2$ のときだけ $z_{k+1}=0$ になるので、その確率は $\frac{1}{3}$ である。よって $q_{n+1}=\frac{1}{3}(1-q_n)$ である。また $z_1=0$ より $q_1=1$ である。

この漸化式を $q_{n+1}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}\left(q_n-\frac{1}{4}\right)$ と書くと、$q_n-\frac{1}{4}={\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\left(1-\frac{1}{4}\right)$ である。したがって $P(z_n=0)=q_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$ となる。

(3)

$z_1=0$ であるから、1回目のさいころの後、$z_2$ は $1,\omega ,{\omega }^2$ のそれぞれを確率 $\frac{1}{3}$ でとる。

(2) より $P(z_3=0)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{3}$ である。また、$z_2=1,\omega ,{\omega }^2$ が等確率であり、非零状態の間の規則は $1,\omega ,{\omega }^2$ を循環・共役で入れ替える形になっているので、$z_3$ が非零であるときの3つの値の確率は等しい。したがって $P(z_3=1)=P(z_3=\omega )=P(z_3={\omega }^2)=\frac{1-P(z_3=0)}{3}=\frac{2}{9}$ である。

(4)

$r_n=P(z_n=1)$、$s_n=P(z_n=\omega )$、$t_n=P(z_n={\omega }^2)$ とおく。$n=1$ では $r_1=s_1=t_1=0$ である。また、$z_k=0$ からは $1,\omega ,{\omega }^2$ へそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で移り、非零3状態の間の移り方も3つの状態を対称に扱う。したがって、$r_n=s_n=t_n$ なら $r_{n+1}=s_{n+1}=t_{n+1}$ である。帰納法により、すべての $n$ で $P(z_n=1)=P(z_n=\omega )=P(z_n={\omega }^2)$ が成り立つ。

よって $P(z_n=1)=\frac{1-P(z_n=0)}{3}$ である。(2) の結果を代入して

を得る。