問題
平面上の曲線を考える。実数に対して，曲線上の点における接線をとする。直線と直線の交点を，三角形の外接円の中心をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 点の座標をを用いて表せ。
(2) とする。をを用いて表せ。
(3) とする。のとき，を最小にするの値との最小値を求めよ。
出典：九州大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1) は の接線を作り、直線 と連立する。(2) は なので、 と のなす角を、平行四辺形の面積公式で求める。(3) は外接円の中心 について が外接円の半径であることを使い、 から を出して最小化する。座標で外心を直接求める方法も検算として有効である。
解答
(1)
の導関数は である。したがって点 における接線 は すなわち である。これと を連立すると より である。 だから であり、 から を得る。
(2)
である。2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は
である。また であり、
である。よって
となる。
(3)
は三角形 の外接円の中心であるから、 は外接円の半径である。 は角 の向かい側の辺なので、外接円の半径を とすると である。ここで だから である。したがって (2) より
となる。 とおくと であり、 である。これを で微分すると
である。 なので、 では減少し、 では増加する。よって最小は のときである。すなわち である。このとき だから、 より最小値は である。
別解。(3) は外心を直接求めてもよい。 とおくと、、 より および である。第2式から を得る。これを第1式から得られる一次式に代入して解くと
となる。したがって 、 を用いると となり、上と同じ最小化に帰着する。