九州大学 2021年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数とするとき，

k = 1 \sum n k 2^{k - 1}

を求めよ。

(2) 次のように定義される数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} k = 1 \sum n (n + 1 - k) a_{k} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

出典：九州大学 2021年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

(1)は $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k 2^{k - 1}$ と置き、 $2 S_{n} - S_{n}$ を並べて引くことで端の項だけが残る形にする。(2)では和を含む漸化式をそのまま解かず、まず $a_{n + 2} - a_{n + 1}$ を作って和の重みを消す。さらに1つ前の式との差を取ると2階の線形漸化式になり、初期値 $a_{2}, a_{3}$ から $n ≧ 2$ の一般項を決める。 $a_{1}$ だけは別に扱う。

解答

(1)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k 2^{k - 1} = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} + \dots + n 2^{n - 1}$ とおく。両辺を2倍すると $2 S_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \dots + n 2^{n}$ である。したがって同じ指数の項をそろえて $2 S_{n} - S_{n}$ を取ると $S_{n} = - 1 + (1 - 2) 2 + (2 - 3) 2^{2} + \dots + {(n - 1) - n} 2^{n - 1} + n 2^{n}$ である。したがって $S_{n} = - 1 - (2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}) + n 2^{n}$ となる。よって $S_{n} = n 2^{n} - (2^{n} - 2) - 1 = (n - 1) 2^{n} + 1$ である。

(2)

与えられた式を $a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} (n + 1 - k) a_{k}$ と書く。これを $n + 1$ に対する式と比べると $a_{n + 2} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} (n + 2 - k) a_{k}$ であるから、差を取って $a_{n + 2} - a_{n + 1} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k}$ を得る。

さらに、 $n ≧ 2$ で1つ前の式 $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ を引くと $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1}$ である。すなわち $2 a_{n + 2} - 5 a_{n + 1} + 2 a_{n} = 0 (n ≧ 2)$ となる。

初期値を求めると $a_{1} = 2,$ また $n = 1$ を代入して $a_{2} = 1 + \frac{1}{2} a_{1} = 2$ であり、 $n = 2$ を代入して $a_{3} = 1 + \frac{1}{2} (2 a_{1} + a_{2}) = 4$ である。 $n ≧ 2$ で成り立つ漸化式の特性方程式は $2 r^{2} - 5 r + 2 = 0$ すなわち $(2 r - 1) (r - 2) = 0$ である。したがって $a_{n} = A \cdot 2^{n} + B (\frac{1}{2})^{n} (n ≧ 2)$ の形になる。 $a_{2} = 2, a_{3} = 4$ を代入すると $B = 0$ , $A = \frac{1}{2}$ となるので $a_{n} = 2^{n - 1} (n ≧ 2)$ である。

なお $a_{1} = 2$ であり、これは $2^{1 - 1} = 1$ とは異なる。よって一般項は $a_{1} = 2, a_{n} = 2^{n - 1} (n ≧ 2)$ である。

九州大学 2021年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2021年度
文系数学前期第4問