問題
を正の実数とし，放物線
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 放物線と直線が接するようなの値を求めよ。
(2) が(1)で求めた値のとき，放物線，直線，軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
出典：九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
放物線と直線が接する条件は、交点を求める二次方程式の判別式が0であることに対応する。まず を作り、判別式を で因数分解して、正の解だけを残す。(2)では得られた を代入すると差が完全平方 になり、直線が上側である。接点 から 軸 まで、上の直線から下の放物線を引いたものを積分する。
解答
(1)
放物線 と直線 の交点は をみたす点である。整理すると である。
放物線と直線が接するためには、この の二次方程式が重解をもてばよい。判別式を とすると である。 では だから、 となるのは に限られる。よって求める値は である。
(2)
のとき、放物線と直線の差は である。したがって、接点は にあり、 から までの区間では直線 が放物線 の上側にある。
求める面積は である。よって
となる。したがって求める面積は である。
別解。(1)は接線の傾きからも求められる。放物線 の導関数は である。直線 の傾きは8なので、接点の 座標を とすれば より である。この点が直線 上にもある条件 に を代入すると となり、 から を得る。