問題
以下の問いに答えよ。
(1) 次の条件Aをみたす座標平面上の点全体の集合を図示せよ。
条件A：すべての実数に対してが成立する。
(2) 次の条件Bをみたす座標平面上の点全体の集合を図示せよ。
条件B：をみたすすべての実数に対してが成立する。
出典：九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
条件は、固定した に対して が取り得る最大値を が上回ることを意味する。(1)では が全実数なので平方完成で最大値を求める。(2)では の制限があるため、最大点 が区間 に入るかどうかで場合分けし、端点 での値も比較して境界曲線をつなぐ。
解答
(1)
条件Aは、すべての実数 について が成り立つということである。したがって、右辺 の最大値以下ではなく、最大値以上に があればよい。 について平方完成すると である。 はすべての実数を動くので、最大値は である。よって条件Aは と同値である。
したがって求める集合は、放物線 およびその上側の領域である。
(2)
条件Bでは、同じ不等式を のすべての について要求している。したがって、区間 における の最大値を求めればよい。
(1)と同じ平方完成より、放物線の頂点は である。まず すなわち のとき、最大点は区間内にあるので最大値は である。
次に のとき、頂点 は区間の右側にある。下に凸ではなく上に凸の二次式なので、区間 では右端 で最大となり、最大値は である。
同様に のとき、頂点 は区間の左側にあるから、左端 で最大となり、最大値は である。
よって条件Bをみたす点全体は
で表される領域である。境界は と でなめらかにつながり、図示すると中央が放物線、その左右が2本の直線で囲まれる上側の領域になる。