九州大学 2020年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$a, b, c$ を整数とし， $i$ を虚数単位とする。整式 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が $f (\frac{1 + 3 i}{2}) = 0$ をみたすとき，以下の問いに答えよ。

(1) $a, b$ を $c$ を用いて表せ。

(2) $f (1)$ を7で割ると4余り， $f (- 1)$ を11で割ると2余るとする。 $c$ の絶対値が40以下であるとき，方程式 $f (x) = 0$ の解をすべて求めよ。

出典：九州大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

与えられた複素数を $ω$ とおくと、 $ω^{2} - ω + 1 = 0$ を満たす。整数係数、したがって実係数の三次式なので共役な複素数も解になり、 $x^{2} - x + 1$ を因数にもつ。係数比較で $a, b$ を $c$ で表し、(2)は $f (1), f (- 1)$ の合同条件を $c$ だけの合同式に直して、 $∣ c ∣ ≦ 40$ の範囲で一意に決める。別解として、 $ω^{2} = ω - 1$ 、 $ω^{3} = - 1$ による剰余計算でも同じ係数条件を得られる。

解答

(1)

$ω = \frac{1 + 3 i}{2}$ とおく。すると $ω^{2} - ω + 1 = 0$ である。 $f (x)$ は整数係数、特に実係数の整式なので、 $ω$ が解なら共役複素数 $\overline{ω}$ も解である。したがって $x^{2} - x + 1$ が $f (x)$ の因数である。 $f (x)$ は最高係数1の三次式なので $f (x) = (x^{2} - x + 1) (x + m)$ と書ける。展開すると

f (x) = x^{3} + (m - 1) x^{2} + (1 - m) x + m

である。定数項を比べると $m = c$ であるから $a = c - 1, b = 1 - c$ である。

(2)

(1)より $f (1) = 1 + a + b + c = c + 1$ であり、 $f (- 1) = - 1 + a - b + c = 3 c - 3$ である。条件から $c + 1 \equiv 4 (mod 7), 3 c - 3 \equiv 2 (mod 11)$ となる。すなわち $c \equiv 3 (mod 7), 3 c \equiv 5 (mod 11)$ である。 $3^{- 1} \equiv 4 (mod 11)$ なので $c \equiv 9 (mod 11)$ を得る。 $c = 7 u + 3$ とおくと、 $7 u + 3 \equiv 9 (mod 11)$ より $7 u \equiv 6 (mod 11)$ である。 $7^{- 1} \equiv 8 (mod 11)$ だから $u \equiv 48 \equiv 4 (mod 11)$ であり、 $c = 31 + 77 v (v \in Z)$ となる。 $∣ c ∣ ≦ 40$ より $c = 31$ だけが残る。

したがって $f (x) = (x^{2} - x + 1) (x + 31)$ である。求める解は

x = - 31, x = \frac{1 + 3 i}{2}, x = \frac{1 - 3 i}{2}

である。

別解。

(1)は剰余で求めてもよい。 $ω^{2} = ω - 1$ 、 $ω^{3} = - 1$ だから

f (ω) = ω^{3} + a ω^{2} + bω + c = - 1 + a (ω - 1) + bω + c = (a + b) ω + (c - a - 1)

である。これが0になるには、 $ω$ が実数でないことから $a + b = 0, c - a - 1 = 0$ でなければならない。よって同じく $a = c - 1$ 、 $b = 1 - c$ を得る。

九州大学 2020年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

別解。

九州大学 2020年度
文系数学前期第3問