問題
座標空間内の4点，，，を頂点とする四面体が正四面体であるとする。ただし，，とする。以下の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) 軸に垂直な平面で正四面体を切ったときの断面積の最大値を求めよ。
出典：九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
正四面体なので、6本すべての辺の長さの2乗が に等しい。まず から を決め、次に の差をとって を絞る。断面は とおくと、下の2頂点 と上の2頂点 を結ぶ4辺上に点が現れるので、その4点を座標で出して四角形の面積を二次関数として最大化する。
解答
(1)
であるから、正四面体の各辺の長さの2乗は2である。まず より、 だから である。
次に、 より を得る。第2式から第1式を引くと すなわち である。また第3式から第1式を引くと である。したがって となる。
これを に代入すると であり、整理して を得る。よって または である。 のとき となり、条件 に反する。したがって である。以上より である。
(2)
(1)より である。平面 で切る。ただし断面が現れるのは のときである。
平面 は辺 とそれぞれ交わり、その4点を 平面に射影すると である。平面 は 平面と平行なので、断面積はこの四角形の面積に等しい。
この4点をこの順に用いて面積を求めると
である。したがって より、最大値は のとき である。