九州大学 2020年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

2つの曲線の差をとると

である。交点の $x$ 座標は $2x^2-6ax+3a^2+a^3-40=0$ の解であり、異なる2点で交わる条件はこの二次方程式の判別式が正であることである。

判別式を計算すると

である。ここで $2a^2+5a+20>0$ であるから、$D>0$ は $a<4$ と同値である。条件 $a\geqq 0$ と合わせて $\boxed{0\leqq a<4}$ を得る。

(2)

$k=-2a^3+3a^2+80$ とおく。(1)の範囲では $k>0$ であり、交点の $x$ 座標は $\alpha =\frac{3a-\sqrt{k}}{2},\beta =\frac{3a+\sqrt{k}}{2}$ である。交点間では $C_2-C_1$ は上に開く二次式で負になるので、$C_1$ が $C_2$ より上にある。 $u=x-\frac{3a}{2}$ とおくと、$\alpha \leqq x\leqq \beta$ は $-\frac{\sqrt{k}}{2}\leqq u\leqq \frac{\sqrt{k}}{2}$ に対応し、$C_1-C_2=\frac{k}{2}-2u^2$ となる。したがって面積 $S$ は

である。よって $S$ を最大にするには、$k=-2a^3+3a^2+80$ を最大にすればよい。 $k^{\prime }(a)=-6a^2+6a=6a(1-a)$ であるから、$0<a<1$ で増加、$1<a<4$ で減少する。また $k(0)=80,k(1)=81,{\lim }_{a\to 4-0}k(a)=0$ である。したがって最大は $a=1$ のときで、$k=81$ である。ゆえに $S_{\max }=\frac{1}{3}\cdot 81^{3/2}=\boxed{243}$ である。

別解。

面積部分は、二次式の根の間の面積公式としても処理できる。$C_2-C_1=2(x-\alpha )(x-\beta )$ であり、$\alpha <x<\beta$ では $C_1-C_2=2(x-\alpha )(\beta -x)$ である。したがって

となり、以後は同じ最大化に帰着する。