問題
，を複素数，を純虚数でない複素数とし，を虚数単位とする。複素数平面において，点が虚軸全体を動くとき
で定まる点の軌跡をとする。次の3条件が満たされているとする。
(ア) のときにとなり，のときにとなる。
(イ) は単位円の周に含まれる。
(ウ) 点はに属さない。
このとき，，の値を求めよ。さらにを求め，複素数平面上に図示せよ。
方針
まず条件(ア)を で代入して、、 を得る。すると に整理される。虚軸上の点を とおき、条件(イ)の を として係数比較すると が出る。 のもとで虚軸全体の像は単位円から極限点 を除いた部分になる。条件(ウ)で が属さないので、除かれる点が でなければならず、 が決まる。
解答
条件(ア)より、 のとき である。したがって である。また のとき であるから である。2つの式を足すと より である。2つの式を引くと より である。したがって となる。
次に条件(イ)を用いる。虚軸上の点を とおく。ただし は実数である。このとき である。 が単位円周に含まれるためには、すべての実数 について となればよい。すなわち である。
ここで とおく。左辺の2乗は である。右辺の2乗は である。両者がすべての実数 で等しいので、係数を比較して を得る。したがって である。 のとき、上の計算により虚軸上のすべての点の像は単位円周上にある。さらに とすると である。一方、 は純虚数でないので であり、実数 に対して実際に となることはない。したがって軌跡 は、単位円周から点 を除いた部分である。
条件(ウ)より、点 は に属さない。単位円周上で から除かれる点は だけなので でなければならない。よって である。したがって である。
このとき である。 とおくと であり、 を満たす。さらに で となるが、有限の実数 では にならない。したがって、 は単位円周から点 を除いた部分である。図示するときは、原点中心・半径1の円を描き、点 だけを白丸で除けばよい。点 と は条件(ア)により含まれる。
別解。 を について解くと である。 が虚軸上にあることは と同値である。 を用いてこの条件を整理すると が出る。ただし分母が0になる点、すなわち だけは対応する有限の をもたない。この見方でも、軌跡が単位円周から を除いた部分であることが分かる。