問題
座標平面上の3点，，を考える。点は線分上にあり，，とは異なる点とする。
線分上の点を以下のように順に定める。点が定まったとき，点から線分に下ろした垂線ととの交点をとし，点から線分に下ろした垂線ととの交点をとし，点から線分に下ろした垂線ととの交点をとする。
のとき，が限りなく近づく点の座標を求めよ。
出典：九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
線分 上の点を と1つのパラメータで表す。各操作は垂線の足、つまり直線への正射影なので、内積を用いると座標が機械的に求まる。 から へ、次に へ、最後に へ射影した結果、 という一次漸化式が得られる。極限はこの一次変換の固定点であり、収束は差が毎回 倍になることから分かる。
解答
線分 上の点を と表す。、 だから である。点 に対応するパラメータを とする。 は と異なる線分 上の点なので である。
まず を直線 に正射影する。 であり、 である。また である。したがって射影点 は
である。
次に から に下ろした垂線の足 は、 軸上の点なので である。
最後に を直線 に正射影する。 の方向ベクトルは であり、その長さの2乗は4である。射影後の点を と表すと、射影の公式より である。ここで なので
である。したがって が成り立つ。
極限を とすると、連続性より である。よって である。また であるから、実際に は に収束する。
したがって が限りなく近づく点は であり、座標は である。