九州大学 2019年度
理系数学 前期 第1問

解答

$J(x,y)={\int }_0^1\{\sin (2n\pi t)-xt-y{\}}^{2}dt$ とおく。まず必要な積分を求める。 ${\int }_0^1{\sin }^2(2n\pi t)dt=\frac{1}{2}$ であり、また $n$ が自然数なので ${\int }_0^1\sin (2n\pi t)dt=0$ である。さらに部分積分により

である。もちろん ${\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{2},{\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{1}{3}$ である。

これらを用いて $J(x,y)$ を展開する。

である。

これは $x,y$ に関する下に凸の2次式である。最小となる点では $\frac{\partial J}{\partial x}=\frac{1}{n\pi }+\frac{2x}{3}+y=0$ かつ $\frac{\partial J}{\partial y}=x+2y=0$ が成り立つ。第2式より $y=-\frac{x}{2}$ であり、これを第1式に代入すると $\frac{1}{n\pi }+\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=0$ すなわち $\frac{1}{n\pi }+\frac{x}{6}=0$ である。よって $x=-\frac{6}{n\pi },y=\frac{3}{n\pi }$ を得る。

このとき

である。したがって $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\frac{1}{2}}$ である。

別解。最小条件は、誤差 $\sin (2n\pi t)-xt-y$ が $1$ と $t$ のどちらにも直交することと考えてもよい。すなわち

を解くと、同じく $x=-\frac{6}{n\pi }$、$y=\frac{3}{n\pi }$ が得られる。