九州大学 2019年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

各 $k$ について $k(k+1)\cdots (k+a)-(k-1)k\cdots (k+a-1)$ を考える。共通因数 $k(k+1)\cdots (k+a-1)$ でくくると

である。

したがって

である。これを $k=1,2,\dots ,n$ について足すと、中間の項が消える。$k=1$ の引かれる項は0を因数にもつので0であり、最後に $n(n+1)\cdots (n+a)$ だけが残る。よって $\boxed{\sum _{k=1}^{n}k(k+1)\cdots (k+a-1)=\frac{1}{a+1}n(n+1)\cdots (n+a)}$ である。

(2)

両辺に $n(n+1)\cdots (n+a-1)$ を掛ける。すると $b(n+a-1)+cn=a-1$ を得る。これはすべての自然数 $n$ について成り立つ恒等式であるから、$n$ の係数と定数項を比較して $b+c=0,b(a-1)=a-1$ となる。$a\geqq 2$ より $a-1\ne 0$ だから $\boxed{b=1,c=-1}$ である。

(3)

まず $a=1$ のとき、級数は ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$ である。これは調和級数である。実際、$2^{m-1}<k\leqq 2^m$ の範囲にある項をまとめると、その部分には $2^{m-1}$ 個の項があり、各項は $\frac{1}{2^m}$ 以上であるから、各まとまりの和は $\frac{1}{2}$ 以上である。したがって部分和は限りなく大きくなり、発散する。

次に $a\geqq 2$ とする。(2)より

である。これを $k=1,2,\dots ,n$ について足すと望遠鏡型に消えて

となる。 $n\to \infty$ とすると、右辺第2項は0に近づく。したがって $a\geqq 2$ のとき級数は収束し、その極限値は $\boxed{\frac{1}{(a-1)(a-1)!}}$ である。