問題
座標空間内の3点，，を通る平面をとし，平面上にない点を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 点から平面に下ろした垂線ととの交点をとする。線分の長さを，を用いて表せ。
(2) 点がを満たしながら動くとき，四面体の体積の最大値と最小値を求めよ。
出典：九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
まず3点 が定める平面 の方程式を出す。 と から法線方向を読み取ると、平面は になる。点 から平面までの距離が四面体の高さであり、底面積 は外積の大きさから求める。後半は体積が に整理されるので、円 上の一次式 の最大最小に帰着する。
解答
(1)
である。平面 の法線ベクトルを ととれるので、 を通る平面 は である。実際、 のいずれもこの方程式を満たす。
点 から平面 までの距離は、点と平面の距離公式より である。
(2)
底面 の面積を求める。、 であり、これらがつくる平行四辺形の面積は である。したがって三角形 の面積は である。
よって四面体 の体積 は である。
条件 を とおく。このとき である。ここで であるから となる。特に なので絶対値は外してよい。
等号は、 が と同じ向き、または反対向きのときに成立する。すなわち で最大、 で最小をとる。したがって体積の最大値と最小値はそれぞれ である。
別解。円上の点を とおいてもよい。このとき
となるので、最大値と最小値は同じく 、 である。