九州大学 2019年度
文系数学 前期 第2問

解答

$f(x)=x^3-k{x}^2+kx+1$ とおく。導関数は $f^{\prime }(x)=3x^2-2kx+k$ である。極大値と極小値をもつためには、$f^{\prime }(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつ必要がある。したがって判別式より $(-2k{)}^2-4\cdot 3\cdot k>0$ すなわち $4k(k-3)>0$ である。よって、極値をもつための範囲は $k<0$ または $k>3$ である。

この範囲で、$f^{\prime }(x)=0$ の2解を

とおく。$\alpha <\beta$ であり、3次関数の最高次係数は正なので、$x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小をとる。

ここで $f^{\prime }(x)=3(x-\alpha )(x-\beta )$ である。区間 $\alpha <x<\beta$ では $f^{\prime }(x)<0$ だから $f(\alpha )-f(\beta )=-{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^{\prime }(x)dx$ である。$d=\beta -\alpha$ とおくと $d=\frac{2\sqrt{k(k-3)}}{3}$ であり、$u=x-\frac{\alpha +\beta }{2}$ と置き換えると $(x-\alpha )(x-\beta )=u^2-\frac{d^2}{4}$ となる。したがって

である。

条件より $\frac{4}{27}\{k(k-3){\}}^{3/2}=4|k{|}^3$ である。$k\ne 0$ なので、両辺を4で割って整理すると $\{k(k-3){\}}^{3/2}=27|k{|}^3$ となる。極値をもつ範囲では $k(k-3)>0$ であり、これは $|k{|}^{3/2}|k-3{|}^{3/2}=27|k{|}^3$ と書ける。さらに $|k{|}^{3/2}$ で割って、両辺を $2/3$ 乗すると $|k-3|=9|k|$ を得る。 $k<0$ のときは $3-k=-9k$ より $k=-\frac{3}{8}$ である。これは $k<0$ を満たす。$k>3$ のときは $k-3=9k$ より $k=-\frac{3}{8}$ となり、$k>3$ に反する。したがって $\boxed{k=-\frac{3}{8}}$ である。

別解。極値差の計算だけは、$x=\frac{k}{3}+u$ と平行移動してもよい。このとき $f^{\prime }(x)=3u^2-\frac{k(k-3)}{3}$ であるから、停留点は $u=\pm \frac{\sqrt{k(k-3)}}{3}$ である。中央から左右対称な2点の間で $-f^{\prime }(x)$ を積分すれば、上と同じく $f(\alpha )-f(\beta )=\frac{4}{27}\{k(k-3){\}}^{3/2}$ が直ちに出る。