問題
表に3，裏に8が書かれた硬貨がある。この硬貨を10回投げるとき，出た数字10個の積が8桁になる確率を求めよ。ただし，，とする。
出典：九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
3が出た回数を とすれば、8が出た回数は である。積そのものは巨大になるが、桁数は常用対数で判定できる。8桁の正整数は常用対数が に入る数なので、 の常用対数を与えられた値で一次式に直し、整数 の範囲を絞る。最後は該当する について二項係数を足す。
解答
3が出た回数を とする。ただし である。このとき8が出た回数は だから、出た数字10個の積は である。常用対数を取ると、与えられた値より
である。
正の整数 が8桁であることは と同値である。したがって常用対数で表すと である。今回の積が8桁である条件は である。これを について解くと であり、数値を見れば となる。よって整数 として可能なのは だけである。
硬貨の各回は独立で、3が出る回数が である確率は である。したがって求める確率は
である。