問題
次の条件によって定められる数列がある。
以下の問いに答えよ。
(1) 2以上の自然数に対して，が成り立つことを示せ。
(2) 2以上の自然数は，数列の互いに異なる個の項の和で表されることを，数学的帰納法によって示せ。
(3) (2)における項の個数は，を満たすことを示せ。
方針
フィボナッチ型数列の基本性質を使う。(1)はでを確認してから示す。(2)はに関する帰納法で，以下の最大の項を取り，残りが未満になることを使う。の場合もで2項に分ける。(3)は(1)からを導き，個の異なる項の最大添字が少なくともであることから項数を評価する。
解答
(1)
まずでは数列は増加していることを確認する。実際，であり，その後は が成り立つ。したがってでは である。よって が成り立つ。
(2)
に関する数学的帰納法で示す。 のときは であり，互いに異なる2個の項の和で表される。 について主張が成り立つと仮定し，について示す。以下の最大の項をとする。すなわち である。
もしなら，よりであり だから，は互いに異なる2個の項の和で表される。
次にとする。このとき とおくと，である。またより である。なら と表せる。ここでなので，とは異なる項である。 なら，帰納法の仮定により，は互いに異なる2個以上の項の和で表される。しかもであるから，その表現に以上の項は現れない。したがって，そこにを加えても項は重ならず，は互いに異なる項の和で表される。以上で帰納法が完了した。
(3)
(1)より，添字を2つ進めるごとに値は2倍より大きくなる。特にについて が成り立つ。これはで直接確かめられ，その後は(1)を繰り返せばよい。 を互いに異なる個の項の和で表したとする。この個の項の中で最大の添字をとすると，異なる添字が個あるので である。したがって最大の項は少なくとも以上である。また和は最大の項だけでなく他の正の項も含むので である。よって となる。両辺のを底とする対数をとると であるから が成り立つ。