問題
以下の問いに答えよ。
(1) をを満たす実数，を虚数単位とし，をで表される複素数とする。このとき，整数に対して次の式を証明せよ。
(2) 次の方程式を満たす実数 を求めよ。
(3) 次の式を証明せよ。
出典：九州大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
(1)は から が共役複素数になることを使い、 と の和差で実部・虚部を取り出す。(2)は三倍角・二倍角を用いて の3次方程式に直し、範囲内の角を列挙する。(3)は に変換し、 を和積公式で整理する。
解答
(1)
なので である。また、整数 に対して
が成り立つ。 が負の場合も、 と考えれば同じ式で表せる。
この2式を足すと であり、引くと である。したがって
である。
(2)
とおく。二倍角・三倍角の公式より である。与えられた方程式は すなわち である。因数分解すると であるから である。 より である。
(3)
を用いると
である。ここで和積公式より
である。また である。したがって
である。よって
となり、示された。
別解。(3)の余弦和は、4つを一度に等差角の和として処理してもよい。 は公差 の列なので、端から組にして とすれば、それぞれ和積公式で中央角の余弦が現れる。結局、前半は 、後半は ではなく、角の組み方に注意して を使うのが最も簡潔である。