九州大学 2016年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

座標平面上の曲線 $C_{1}$ ， $C_{2}$ をそれぞれ

C_{1} : y = lo g x (x > 0)

C_{2} : y = (x - 1) (x - a)

とする。ただし， $a$ は実数である。 $n$ を自然数とするとき，曲線 $C_{1}$ ， $C_{2}$ が2点 $P$ ， $Q$ で交わり， $P$ ， $Q$ の $x$ 座標はそれぞれ1， $n + 1$ となっている。また，曲線 $C_{1}$ と直線 $P Q$ で囲まれた領域の面積を $S_{n}$ ，曲線 $C_{2}$ と直線 $P Q$ で囲まれた領域の面積を $T_{n}$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $a$ を $n$ の式で表し， $a > 1$ を示せ。

(2) $S_{n}$ と $T_{n}$ をそれぞれ $n$ の式で表せ。

(3) 極限値 $n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n lo g T _{n}}$ を求めよ。

出典：九州大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

交点 $x = n + 1$ を $C_{2}$ に代入して $a$ を決める。面積 $S_{n}$ は対数曲線と弦 $P Q$ の差、 $T_{n}$ は放物線と同じ弦の差として積分する。 $a$ の式を使うと、 $T_{n}$ の被積分関数は $(x - 1) (n + 1 - x)$ に簡単化する。極限は $S_{n}$ の主要項が $(n /2) lo g n$ 、 $lo g T_{n}$ の主要項が $3 lo g n$ であることを確認する。

解答

(1)

$x = 1$ では $C_{1}, C_{2}$ ともに $y = 0$ である。もう一方の交点の $x$ 座標が $n + 1$ なので、 $lo g (n + 1) = ((n + 1) - 1) ((n + 1) - a) = n (n + 1 - a)$ である。したがって $a = n + 1 - \frac{lo g ( n + 1 )}{n}$ である。また $lo g (n + 1) = \int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x < \int_{1}^{n + 1} 1 d x = n$ だから $\frac{l o g ( n + 1 )}{n} < 1$ であり、 $a = n + 1 - \frac{l o g ( n + 1 )}{n} > n ≧ 1$ である。よって $a > 1$ である。

(2)

点 $P, Q$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{l o g ( n + 1 )}{n}$ であるから、直線 $P Q$ は $y = \frac{l o g ( n + 1 )}{n} (x - 1)$ である。

まず $C_{1} : y = lo g x$ は上に凸であり、弦より上にあるので $S_{n} = \int_{1}^{n + 1} (lo g x - \frac{l o g ( n + 1 )}{n} (x - 1)) d x$ である。ここで $\int_{1}^{n + 1} lo g x d x = (n + 1) lo g (n + 1) - n$ かつ $\int_{1}^{n + 1} \frac{l o g ( n + 1 )}{n} (x - 1) d x = \frac{n}{2} lo g (n + 1)$ である。したがって $S_{n} = (\frac{n}{2} + 1) lo g (n + 1) - n$ である。

次に $C_{2}$ と直線 $P Q$ の差を計算する。(1)より $a + \frac{l o g ( n + 1 )}{n} = n + 1$ であるから $\frac{l o g ( n + 1 )}{n} (x - 1) - (x - 1) (x - a) = (x - 1) (n + 1 - x)$ である。これは $1 ≦ x ≦ n + 1$ で非負なので、 $T_{n} = \int_{1}^{n + 1} (x - 1) (n + 1 - x) d x$ である。 $u = x - 1$ とおくと

T_{n} = \int_{0}^{n} u (n - u) d u = [\frac{n u ^{2}}{2} - \frac{u ^{3}}{3}]_{0}^{n} = \frac{n ^{3}}{6}

である。よって $T_{n} = \frac{n ^{3}}{6}$ である。

(3)

(2)より

\frac{S _{n}}{n lo g T _{n}} = \frac{( \frac{n}{2} + 1 ) lo g ( n + 1 ) - n}{n lo g ( n ^{3} /6 )}

である。分子と分母を $n lo g n$ で割ると

\frac{S _{n}}{n lo g T _{n}} = \frac{( \frac{1}{2} + \frac{1}{n} ) \frac{l o g ( n + 1 )}{l o g n} - \frac{1}{l o g n}}{\frac{l o g ( n ^{3} /6 )}{l o g n}}

である。ここで

n \to \infty lim \frac{lo g ( n + 1 )}{lo g n} = 1, n \to \infty lim \frac{1}{lo g n} = 0, n \to \infty lim \frac{lo g ( n ^{3} /6 )}{lo g n} = 3

だから $n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n lo g T _{n}} = \frac{1}{6}$ である。

九州大学 2016年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2016年度
理系数学前期第1問