九州大学 2016年度
理系数学 前期 第3問

解答

各頂点から、次の1回で $P_0$ に移る目を調べる。

$P_0$ にいるときは、6の目が出ると $x$ 軸に関して対称な位置、すなわち $P_0$ 自身にとどまる。1から5の目では $P_0$ 以外へ移るので、$P_0$ から $P_0$ へ移る目は6だけである。

$P_j$ $(j=1,2,3,4,5)$ にいるときは、1から5の目で反時計まわりに進む。$P_j$ から $P_0$ に戻るには、頂点番号を6で割った余りで考えて $j+r\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ となる目 $r$ が必要である。これは

のように、各頂点でちょうど1つずつ存在する。6の目による対称移動は、$P_1$ と $P_5$、$P_2$ と $P_4$ を入れ替え、$P_3$ は動かさないので、これも上の唯一性を崩さない。

したがって、ある回の直前にどの頂点にいても、次の1回で $P_0$ にいる確率は常に $\frac{1}{6}$ である。

(1)

1回投げた後の位置がどこであっても、2回目で $P_0$ に移る確率は $1/6$ である。よって $\boxed{\frac{1}{6}}$ である。

(2)

2回投げた後の位置がどこであっても、3回目で $P_0$ に移る確率は $1/6$ である。したがって3回後に $P_0$ にある確率も $\boxed{\frac{1}{6}}$ である。

(3)

$n$ は自然数である。$n-1$ 回投げた後の位置がどの頂点であっても、次の1回で $P_0$ に移る目はちょうど1つである。よって全確率を足し合わせると、$n$ 回後に $P_0$ にある確率は

である。したがって $\boxed{\frac{1}{6}}$ である。

別解。現在位置を $P_0,P_1,\dots ,P_5$ の6通りに分け、各行に「次に $P_0$ へ行く目の数」を書くと、すべての行が1になる。したがって直前の確率分布をどのように置いても、次回に $P_0$ へ入る確率は各行共通で $1/6$ である。この見方を使うと、回数を増やしても計算表を作り直す必要がない。