九州大学 2014年度
理系数学 前期 第5問

解答

$f_n(x)=(x-1)(2x-1)\cdots (nx-1)$ である。$f_n(x)=0$ となるのは $x=1,\frac{1}{2},\dots ,\frac{1}{n}$ のときである。したがって、区間 $\frac{1}{k+1}<x<\frac{1}{k}$ では $f_n(x)\ne 0$ である。

この区間で $f_n^{\prime }(x)/f_n(x)$ を考える。積の微分を用いると、各因子を1つずつ微分した項の和になるので

である。ここで $\frac{j}{jx-1}=\frac{1}{x-1/j}$ だから $\frac{f_n^{\prime }(x)}{f_n(x)}={\sum }_{j=1}^n\frac{1}{x-1/j}$ である。

右辺を $g(x)={\sum }_{j=1}^n\frac{1}{x-1/j}$ とおく。すると $g^{\prime }(x)=-{\sum }_{j=1}^n\frac{1}{(x-1/j{)}^2}<0$ であるから、$g(x)$ はこの区間で単調に減少する。

また、$x\to 1/(k+1)+0$ のとき、項 $\frac{1}{x-1/(k+1)}$ が $+\infty$ に発散し、他の項は有限の値に近づく。したがって ${\lim }_{x\to 1/(k+1)+0}g(x)=+\infty$ である。一方、$x\to 1/k-0$ のとき、項 $\frac{1}{x-1/k}$ が $-\infty$ に発散し、他の項は有限の値に近づく。したがって ${\lim }_{x\to 1/k-0}g(x)=-\infty$ である。

よって単調減少性と連続性から、この区間に $g(x)=0$ を満たす点がただ1つ存在する。区間内では $f_n(x)\ne 0$ なので、これは $f_n^{\prime }(x)=0$ を満たす点がただ1つ存在することと同値である。

さらに、$g(x)$ はその点の左側で正、右側で負である。$f_n(x)$ は区間内で0にならないので符号が一定であり、$f_n^{\prime }(x)=f_n(x)g(x)$ の符号はその1点を境に必ず変化する。したがって $f_n(x)$ は区間 $\frac{1}{k+1}<x<\frac{1}{k}$ でただ1つの極値をとる。