問題
座標平面上の楕円
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 楕円(A)と直線が交点をもつときのの値の範囲を求めよ。
(2) を満たす点全体がなす図形の概形をかけ。
(3) 点が楕円(A)上を動くとき，の最大値，最小値とそれを与えるをそれぞれ求めよ。
方針
(1) は直線 が楕円と交わる条件を、楕円上での の取りうる範囲として見ると早い。楕円を 、 とおけば、 の値域が出る。(2) は が4本の線分からなるひし形であることを述べる。(3) では原点が楕円の内部にあるため最小値を0とはできない。軸との交点と各象限での線形関数 を調べ、最大・最小を決める。
解答
(1)
楕円(A)は と表せる。直線 が楕円と交わるとき、その交点では である。したがって
である。 の取りうる値は すなわち である。よって である。
(2)
は、各象限で の一部になる。したがって、点 を頂点とするひし形である。
(3)
まず楕円と座標軸の交点を調べる。 とすると より である。したがって が得られる。このうち で である。
また とすると より であるから である。したがって 上の値は である。
各象限の内部では、 は 、、、 のいずれかである。楕円上で線形関数 の最大・最小は、楕円の接線が と平行になる点、または象限の境界で起こる。
最大値については、第2象限で を最大にすればよい。(1) の計算より、楕円上の の最大値は である。この最大を与えるには となればよいので である。したがって である。よって最大値は で、その点は である。
最小値は原点に近い側で起こる。上で求めた軸との交点のうち、最も小さい値は で、点は である。これより小さい値が各象限の内部で起こらないことを確認する。
第1象限では であり、境界の軸上では少なくとも である。内部で が極値をとる点は、楕円の接線が と平行になる点であり、この象限では最大側の点になる。したがって第1象限では より小さくならない。
第4象限では である。楕円全体で が内部極値をとる点は第1象限または第2象限にあり、第4象限の弧では端点で最小をとる。端点の値は と なので、最小は である。第3象限でも同じ下側の軸交点を端点にもち、他の端点は である。第2象限では の最大点は上で求めた点であり、最小は軸上の値以上である。
したがって最小値は で、その点は である。