九州大学 2014年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x - sin x$ $(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ を考える。曲線 $y = f (x)$ の接線で傾きが $\frac{1}{2}$ となるものを $l$ とする。

(1) $l$ の方程式と接点の座標 $(a, b)$ を求めよ。

(2) $a$ は(1)で求めたものとする。曲線 $y = f (x)$ ，直線 $x = a$ ，および $x$ 軸で囲まれた領域を， $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

出典：九州大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

接線の傾きは $f^{'} (x) = 1 - cos x$ なので、 $1 - cos a = 1/2$ から接点の $x$ 座標を決める。接線の方程式は点傾きの形で書けばよい。(2) は $0 ≦ x ≦ a$ で $f (x) = x - sin x ≧ 0$ であることを確認し、半径 $f (x)$ の円板を積み重ねる体積として $V = π \int_{0}^{a} f (x)^{2} d x$ を計算する。積分では $x^{2}$ 、 $x sin x$ 、 $sin^{2} x$ に分ける。

解答

(1)

$f (x) = x - sin x$ より $f^{'} (x) = 1 - cos x$ である。接線の傾きが $1/2$ となる接点の $x$ 座標を $a$ とすると $1 - cos a = \frac{1}{2}$ である。したがって $cos a = \frac{1}{2}$ であり、 $0 ≦ a ≦ π /2$ だから $a = \frac{π}{3}$ である。このとき $b = f (a) = \frac{π}{3} - sin \frac{π}{3} = \frac{π}{3} - \frac{3}{2}$ である。よって接点は $(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} - \frac{3}{2})$ である。

接線 $l$ は傾き $1/2$ でこの点を通るから

y - (\frac{π}{3} - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})

である。整理すれば $y = \frac{x}{2} + \frac{π}{6} - \frac{3}{2}$ である。

(2)

$0 ≦ x ≦ π /3$ では $sin x ≦ x$ なので $f (x) = x - sin x ≧ 0$ である。したがって、求める回転体の体積は、半径 $f (x)$ の円板を積み重ねて $V = π \int_{0}^{π /3} (x - sin x)^{2} d x$ である。

積分を計算する。 $(x - sin x)^{2} = x^{2} - 2 x sin x + sin^{2} x$ である。まず

\int_{0}^{π /3} x^{2} d x = \frac{1}{3} (\frac{π}{3})^{3} = \frac{π ^{3}}{81}

である。また部分積分より $\int x sin x d x = - x cos x + sin x$ だから

\int_{0}^{π /3} x sin x d x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = - \frac{π}{6} + \frac{3}{2}

である。さらに $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ より

\int_{0}^{π /3} sin^{2} x d x = [\frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{π /3} = \frac{π}{6} - \frac{3}{8}

である。

したがって

\int_{0}^{π /3} (x - sin x)^{2} d x = \frac{π ^{3}}{81} - 2 (- \frac{π}{6} + \frac{3}{2}) + \frac{π}{6} - \frac{3}{8} = \frac{π ^{3}}{81} + \frac{π}{2} - \frac{9 3}{8}

である。よって

V = π (\frac{π ^{3}}{81} + \frac{π}{2} - \frac{9 3}{8})

である。分母をそろえれば $V = \frac{π}{648} (8 π^{3} + 324 π - 7293)$ とも書ける。

九州大学 2014年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2014年度
理系数学前期第1問