問題
座標平面上の円をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 直線は円に接することを示せ。また，接点の座標も求めよ。
(2) 円と放物線の共有点の座標をすべて求めよ。
(3) 不等式の表す領域をとする。また，不等式の表す領域をとし，不等式の表す領域をとする。そして，和集合，すなわち領域と領域を合わせた領域をとする。このとき，領域と領域の共通部分を図示し，さらに，その面積を求めよ。
方針
(1)は中心から直線までの距離が半径に等しいことと、垂線の足で接点を求める。(2)は放物線を円に代入し、重解になることまで確認する。(3)は 軸対称性を使って右半分だけを積分する。 では領域 が放物線から円 の上側までをつなぎ、 では円 の縦断面全体が放物線の上にある。円弧の積分を区間ごとに処理して面積を出す。
解答
(1)
円 の中心は 、半径は である。直線 を と書くと、中心 からこの直線までの距離は である。これは半径に等しいので、直線 は円 に接する。
接点は中心から直線へ下ろした垂線の足である。直線 に垂直で中心を通る直線は すなわち である。これを と連立すると である。したがって接点は である。
(2)
放物線 を円の式に代入する。 である。両辺を16倍して整理すると となる。これは と因数分解できる。 は判別式 なので実数解をもたない。よって共有点の 座標は のみであり、そのとき である。したがって共有点は だけである。
(3)
領域は 軸に関して対称であるから、右半分の面積を求めて2倍する。 では、領域 は円 である。 では、 と がつながっており、 との共通部分の下側は放物線 上側は円 の上側 である。したがってこの部分の面積は である。
また では、円 の縦断面全体が放物線の上にあるので、面積は である。
よって求める面積 は
である。ここで とおくと、円弧部分は半径 の円の面積で計算できる。実際に積分を整理すると であり、2つの円弧積分を合わせた右半分の円弧部分は になる。したがって右半分の面積は であり、全体の面積は である。図示では、 軸対称に、放物線の上側にある の部分を塗ればよい。