九州大学 2013年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

一辺の長さが1の正方形 $O A B C$ を底面とし， $O P = A P = B P = C P$ をみたす点 $P$ を頂点とする四角錐 $P O A B C$ がある。辺 $A P$ を $1 : 3$ に内分する点を $D$ ，辺 $C P$ の中点を $E$ ，辺 $B C$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $Q$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル $O D$ と $O E$ を， $O A$ ， $O C$ ， $O P$ を用いて表せ。

(2) ベクトル $P Q$ を， $O A$ ， $O C$ ， $O P$ と $t$ を用いて表せ。

(3) 内積 $O A \cdot O P$ の値を求めよ。

(4) 直線 $P Q$ が平面 $O D E$ に垂直であるとき， $t$ の値および線分 $O P$ の長さを求めよ。

出典：九州大学 2013年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

$O A = a$ 、 $O C = c$ 、 $O P = p$ とおき、 $a \cdot c = 0$ 、 $∣ a ∣ = ∣ c ∣ = 1$ を使う。等距離条件から $a \cdot p = c \cdot p = 1/2$ が出る。内分点 $D, E, Q$ を $a, c, p$ で表し、 $P Q$ が平面 $O D E$ に垂直である条件を $P Q \cdot O D = 0$ 、 $P Q \cdot O E = 0$ として連立する。

解答

a = O A, c = O C, p = O P

とおく。正方形の一辺は1なので $∣ a ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot c = 0$ である。

(1)

点 $D$ は辺 $A P$ を $1 : 3$ に内分するので $O D = \frac{3}{4} a + \frac{1}{4} p$ である。また $E$ は辺 $C P$ の中点なので $O E = \frac{1}{2} c + \frac{1}{2} p$ である。

(2)

$B$ の位置ベクトルは $a + c$ である。点 $Q$ は $B C$ を $t : (1 - t)$ に内分するから $O Q = (1 - t) (a + c) + t c = (1 - t) a + c$ である。したがって $P Q = (1 - t) a + c - p$ である。

(3)

$O P = A P$ より $∣ p ∣^{2} = ∣ p - a ∣^{2}$ である。右辺を展開すると $∣ p ∣^{2} = ∣ p ∣^{2} - 2 a \cdot p + ∣ a ∣^{2}$ だから $a \cdot p = \frac{1}{2}$ である。同様に $O P = C P$ から $c \cdot p = \frac{1}{2}$ も得られる。

(4)

$s = ∣ p ∣^{2}$ とおく。直線 $P Q$ が平面 $O D E$ に垂直であるためには、平面上の2本の方向 $O D, O E$ に垂直であればよい。したがって

P Q \cdot O D = 0, P Q \cdot O E = 0

である。

(1)，(2)，(3)を用いて計算する。まず

P Q \cdot O D = {(1 - t) a + c - p} \cdot (\frac{3}{4} a + \frac{1}{4} p)

$= \frac{7}{8} (1 - t) - \frac{1}{4} - \frac{s}{4}$ である。よって $7 t + 2 s = 5$ を得る。次に

P Q \cdot O E = {(1 - t) a + c - p} \cdot (\frac{1}{2} c + \frac{1}{2} p)

$= \frac{1 - t}{4} + \frac{1}{2} - \frac{s}{2}$ である。よって $t + 2 s = 3$ を得る。2式を引くと $6 t = 2$ なので $t = \frac{1}{3}$ である。これを $t + 2 s = 3$ に代入して $s = \frac{4}{3}$ を得る。したがって $O P = s = \frac{2 3}{3}$ であり、 $t = \frac{1}{3}$ である。

九州大学 2013年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2013年度
文系数学前期第1問