問題
100人の団体がある区間を列車で移動する。このとき，乗車券が7枚入った480円のセットと，乗車券が3枚入った220円のセットを購入して，利用することにした。以下の問いに答えよ。
(1) が0以上の整数であるとき，次のことを示せ。
は，を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，それ以外の場合は整数ではない。
(2) 購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする。このとき，セットとセットの購入の仕方をすべて挙げよ。
(3) 購入した乗車券は余ってもよいものとする。このとき，のみ，あるいはのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，，をそれぞれ何セットずつ購入するときか。またそのときの購入金額はいくらか。
方針
セットAを セット、セットBを セットとおく。(1) は を3で割った余りを調べるだけである。(2) は余りなしなので を解き、(1)の合同条件と から候補を列挙する。(3) は のもとで費用 を最小化する。固定した に対して必要最小の を取り、 を3で割った余りで分類すると、調べる範囲を短くできる。
解答
(1)
3を法として考えると である。したがって が整数であることは、 が3で割り切れること、すなわち と同値である。よって のときに限り整数であり、それ以外の場合は整数ではない。
(2)
セットAを セット、セットBを セット購入するとする。購入した乗車券を余らせず100人で使うので である。ここで は0以上の整数である。
この式から である。(1)より、 が整数になるには が必要十分である。また だから である。
したがって の範囲で をみたすものは である。それぞれに対応する は である。よって購入の仕方は である。
(3)
今度は乗車券が余ってもよいので、条件は である。固定した に対して、費用を最小にするには、この不等式をみたす最小の を選べばよい。
まず なら、Aだけの費用ですでに である。一方、後で得る 円の購入方法があるので、最小を探すには だけを調べれば十分である。
のとき、必要なBの最小セット数は であり、費用は である。この場合 だから、最小は 、すなわち のとき である。
のとき、必要なBの最小セット数は であり、費用は である。この場合も だから、最小は 、すなわち のとき である。
のとき、必要なBの最小セット数は であり、費用は である。 なので、最小は 、すなわち のとき である。
以上を比較すると、購入金額が最も低くなるのは 購入するときであり、その金額は である。