問題
関数を考える。曲線について，以下の問いに答えよ。
(1) のとき，曲線は傾きがである接線を2本持つことを示せ。
(2) (1)において，傾きがである2本の接線と曲線との接点を，それぞれ，とする（ただし）。このとき，点と点は点に関して対称の位置にあることを示せ。
(3) のとき，2点，の間の距離の最小値を求めよ。また，最小値を与えるときの，の座標，もそれぞれ求めよ。
出典：九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
同じ傾きの接点は の解として求める。 なので、 では接点の 座標が の形になり、曲線も まわりに と整理できる。距離は だけの式になり、 の端点と内部の臨界点を比較する。特に端点 も最小値を与えることを落とさない。
解答
(1)
である。傾きが である接線の接点の 座標は をみたす。すなわち より である。
のとき だから、この方程式は異なる2つの実数解をもつ。したがって曲線Cは傾きが である接線を2本もつ。
(2)
とおくと、 であり、2つの接点の 座標は と表せる。
ここで とおくと である。したがって であり、 である。
よって2点P,Qは である。これらの中点は である。したがってPとQは点 に関して対称の位置にある。
(3)
(2)の表記を用いると、 である。また だから である。
とおくと、最小化すべき式は であり、 である。右辺を とおくと、 である。
したがって での候補は、端点 と、臨界点 である。それぞれの値は
である。また では だから、最小値は である。
よって距離 の最小値は である。最小値を与えるのは の2通りであるから、対応する は または である。