問題
原点をとする座標空間に，3点，，がある。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) において，はより大きいことを示せ。
(2) 点から直線に下ろした垂線と直線との交点をとする。点の座標を求めよ。
(3) の面積を求めよ。
出典：九州大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
(1) は角Bをはさむ2本のベクトル 、 の内積を見る。内積が負なら角は鈍角である。(2) は点Hを直線BC上の点 とおき、 を内積0の条件で表して を求める。(3) は が 軸上の長さ1の辺であることを使い、Hから 軸までの距離を高さとして三角形の面積を出す。
解答
(1)
角Bをはさむ2つのベクトルは
である。これらの内積は
である。
内積が負であるから、2つのベクトルのなす角の余弦は負である。したがって である。
(2)
点Hは直線BC上にあるので、実数 を用いて
と表せる。
HはAから直線BCに下ろした垂線の足であるから、 である。すなわち をみたす。ここで であるから、
となる。よって より である。
したがって である。
(3)
点Oと点Aはともに 軸上にあり、 である。したがって三角形OAHの面積は、底辺をOAとし、Hから 軸までの距離を高さとして求められる。
Hから 軸までの距離は、Hの 成分を用いて
である。よって である。