九州大学 2010年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$P$が$y=x^2$上を動くので，$P=(x,x^2)$ とおく。このとき $X=ax+b{x}^2,Y=cx+d{x}^2$ である。$Q$が放物線$9X=2Y^2$上にあるためには，すべての実数$x$について $9(ax+b{x}^2)=2(cx+d{x}^2{)}^2$ が成り立つ必要がある。展開すると $9ax+9b{x}^2=2c^2{x}^2+4cd{x}^3+2d^2{x}^4$ である。係数を比較して $9a=0,9b=2c^2,4cd=0,2d^2=0$ を得る。したがって $a=0,d=0,b=\frac{2c^2}{9}$ である。

さらに，$Q$が放物線$9X=2Y^2$の全体を動くには，$Y=cx$がすべての実数値を取る必要がある。したがって$c\ne 0$である。よって

である。このとき$Y=cx$は全実数を動き，$X=2Y^2/9$となるので，確かに放物線全体が得られる。

(2)

円の条件は $X^2+(Y-1{)}^2=1$ すなわち $X^2+Y^2-2Y=0$ である。$X=ax+b{x}^2$，$Y=cx+d{x}^2$を代入すると $(ax+b{x}^2{)}^2+(cx+d{x}^2{)}^2-2(cx+d{x}^2)=0$ がすべての$x$で成り立つ。

$x^4$の係数から $b^2+d^2=0$ である。$b,d$は実数なので $b=0,d=0$ である。すると恒等式は $(a^2+c^2)x^2-2cx=0$ となる。$x$の係数より$c=0$，さらに$x^2$の係数より$a=0$である。したがって

である。このとき$Q=(0,0)$であり，確かに円$X^2+(Y-1{)}^2=1$上の点である。

(3)

$P=(x,x^2)$に対して $Q=(X,Y)=x(a,c)+x^2(b,d)$ である。$x=0$のとき$Q=(0,0)$だから，$Q$が動く直線$L$は原点を通る直線でなければならない。

まず$b=d=0$かつ$(a,c)\ne (0,0)$なら $Q=x(a,c)$ である。$x$はすべての実数を動くので，$Q$は原点を通り方向ベクトル$(a,c)$をもつ直線全体を動く。この直線は $\boxed{cX-aY=0}$ で表される。

逆に，$Q$がある直線全体を動くとする。するとすべての$Q=x(a,c)+x^2(b,d)$は同じ一本の原点を通る直線上にあるので，$(a,c)$と$(b,d)$は同じ方向を向くか，どちらかが零ベクトルでなければならない。もし$(b,d)\ne (0,0)$なら，その直線上の座標は $\alpha x+\beta x^2(\beta \ne 0)$ という二次式で表される。二次式の値域は下または上に限界をもつため，直線全体を動くことはできない。したがって $(b,d)=(0,0)$ でなければならない。さらに$(a,c)=(0,0)$なら$Q$は原点だけにとどまり，直線全体を動かない。よって必要十分条件は $\boxed{b=d=0,(a,c)\ne (0,0)}$ である。

別解。直線$L$は原点を通るから，$L$を$mX+nY=0$と書ける。ただし$(m,n)\ne (0,0)$である。$Q$が常に$L$上にあるなら $m(ax+b{x}^2)+n(cx+d{x}^2)=0$ が$x$の恒等式となるので $ma+nc=0,mb+nd=0$ である。これは$(a,c)$と$(b,d)$が同じ直線方向にあることを意味する。さらに$Q$が直線全体を動くには，その直線上の係数がすべての実数値を取らなければならない。二次項が残ると係数は二次式となり全実数を動かないため，やはり$(b,d)=(0,0)$が必要で，$(a,c)\ne (0,0)$が十分条件となる。