九州大学 2010年度理系数学第4問解答・解説

問題

中心 $(0, a)$ ，半径 $a$ の円を $x y$ 平面上の $x$ 軸の上を $x$ の正の方向に滑らないように転がす。このとき円上の定点 $P$ が原点(0,0)を出発するとする。次の問いに答えよ。

(1) 円が角 $t$ だけ回転したとき，点 $P$ の座標を求めよ。

(2) $t$ が0から $2 π$ まで動いて円が一回転したときの点 $P$ の描く曲線を $C$ とする。曲線 $C$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。

(3) (2)の曲線 $C$ の長さを求めよ。

出典：九州大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

滑らずに転がるので，円が角 $t$ だけ回転したとき中心は $x$ 方向に弧長 $a t$ だけ進む。初めに最下点にあった点 $P$ は，中心から見て $(- a sin t, - a cos t)$ だけずれるので媒介変数表示が得られる。面積は $x (t)$ が単調に増えることを使って $\int y d x$ で計算し，曲線の長さは $(d x / d t)^{2} + (d y / d t)^{2}$ を $2 a sin (t /2)$ に整理して積分する。

解答

(1)

円が $x$ 軸上を滑らずに転がるので，角 $t$ だけ回転したとき，中心は弧長 $a t$ だけ右に進む。したがって中心の座標は $(a t, a)$ である。

点 $P$ は初め中心から見て $(0, - a)$ の位置にある。円が右向きに転がると，中心から $P$ へのベクトルは $(- a sin t, - a cos t)$ となる。よって点 $P$ の座標は $x = a (t - sin t), y = a (1 - cos t)$ である。

(2)

(1)より $\frac{d x}{d t} = a (1 - cos t)$ である。 $0 ≦ t ≦ 2 π$ では $1 - cos t ≧ 0$ なので，面積は $\int y d x = \int_{0}^{2 π} y (t) \frac{d x}{d t} d t$ で求められる。したがって

面積 = \int_{0}^{2 π} a (1 - cos t) \cdot a (1 - cos t) d t = a^{2} \int_{0}^{2 π} (1 - 2 cos t + cos^{2} t) d t = a^{2} (2 π + \int_{0}^{2 π} cos^{2} t d t) = a^{2} (2 π + π)

である。よって $3 π a^{2}$ である。

(3)

(1)より $\frac{d x}{d t} = a (1 - cos t), \frac{d y}{d t} = a sin t$ である。したがって曲線の長さは

L = \int_{0}^{2 π} {a (1 - cos t)}^{2} + (a sin t)^{2} d t = a \int_{0}^{2 π} (1 - cos t)^{2} + sin^{2} t d t = a \int_{0}^{2 π} 2 - 2 cos t d t = a \int_{0}^{2 π} 2 sin \frac{t}{2} d t

である。 $0 ≦ t ≦ 2 π$ では $sin (t /2) ≧ 0$ であるから絶対値は不要である。よって $L = 2 a [- 2 cos \frac{t}{2}]_{0}^{2 π} = 8 a$ である。

九州大学 2010年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2010年度
理系数学第4問