問題
平面上に曲線を描き，この曲線の第1象限内の部分を，第2象限内の部分をと呼ぶ。上の点からに向けて接線を引き，との接点をとする。次に点からに向けて接線を引き，との接点をとする。次に点からに向けて接線を引き，接点をとする。以下同様に続けて，上の点列と上の点列を定める。このとき，次の問いに答えよ。
(1) 点の座標を求めよ。
(2) 三角形の面積を求めよ。
(3) 三角形 の面積を求めよ。
(4) 級数の和を求めよ。
出典：九州大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
曲線のにおける接線をまず式で表し，その接線が反対側の枝上の点を通る条件を解く。からでは接点の座標がになり，からではになる。この倍率の規則を一般化しての座標をとし，三角形の面積は同じ形の計算をに置き換えて等比級数にする。
解答
(1)
曲線のにおける接線を求める。導関数は であるから，接線の方程式は すなわち である。
この接線がを通るとすると である。とおくと より である。因数分解して となる。は第2象限側の接点なのでであり，を選ぶ。したがって であり， である。
(2)
次にからへ引いた接線の接点をとする。接線 がを通るので である。とおくと すなわち である。これは と因数分解でき，第1象限側の接点なのでである。よって である。
三角形の面積は，
より
である。
(3)
上の計算から，上の点からへ接線を引くと接点の座標はであり，そこから再びへ接線を引くと次の接点の座標はである。したがって である。
(2)の面積公式は，を一般のに置き換えると である。ここでとすれば である。
(4)
(3)よりは初項，公比の等比数列である。したがって
である。