九州大学 2006年度理系数学第4問解答・解説

問題

関数 $f (x) = sin x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ を考える．ただし， $- π ≦ x ≦ π$ とする。さらに， $0 ≦ a ≦ \frac{π}{2}$ に対して， $F (a) = \int_{0}^{a} f (x) f (x - \frac{π}{2}) d x$ とする．このとき次の問いに答えよ．

(1) $f (x) = 0$ となる $x$ を求めよ．

(2) 関数 $y = f (x)$ のグラフの概形を描け．

(3) $F (a)$ を求めよ．

出典：九州大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

絶対値が二重になっているので、まず $∣ sin x - 1/2 ∣ = 1/2$ を解いて零点を確定する。グラフは $sin x ≦ 1/2$ と $sin x ≧ 1/2$ に分け、さらに $sin x$ の符号も見て区間ごとの式に直す。(3)では $0 ≦ x ≦ π /2$ に限ると $x - π /2 \in [- π /2, 0]$ であり、 $f (x - π /2) = cos x$ になることが決定的である。あとは $f (x)$ の式が変わる $x = π /6$ で積分を分け、端点で値がつながることも確認する。

解答

(1)

$f (x) = 0$ となるための条件は $sin x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ すなわち $sin x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ である。よって $sin x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} または sin x - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$ であり、 $sin x = 1 または sin x = 0$ を得る。 $- π ≦ x ≦ π$ において、 $sin x = 0$ の解は $x = - π, 0, π$ であり、 $sin x = 1$ の解は $x = \frac{π}{2}$ である。したがって求める $x$ は $x = - π, 0, \frac{π}{2}, π$ である。

(2)

$sin x ≦ 1/2$ のとき $sin x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - sin x$ であるから $f (x) = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣$ である。一方、 $sin x ≧ 1/2$ のとき $sin x - \frac{1}{2} = sin x - \frac{1}{2}$ であり、 $sin x ≦ 1$ なので $f (x) = ∣ sin x - 1∣ = 1 - sin x$ である。

したがって区間ごとに書けば

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - sin x sin x 1 - sin x sin x (- π ≦ x ≦ 0), (0 ≦ x ≦ π /6), (π /6 ≦ x ≦ 5 π /6), (5 π /6 ≦ x ≦ π)

である。この式に従って描けばよい。主な通過点は

(- π, 0), (- \frac{π}{2}, 1), (0, 0), (\frac{π}{6}, \frac{1}{2}), (\frac{π}{2}, 0), (\frac{5 π}{6}, \frac{1}{2}), (π, 0)

であり、 $x = 0, π /2$ などで折れ曲がる概形になる。

(3)

$0 ≦ x ≦ π /2$ では $- \frac{π}{2} ≦ x - \frac{π}{2} ≦ 0$ である。この範囲では $sin (x - \frac{π}{2}) = - cos x ≦ 0$ なので、(2)の $sin y ≦ 1/2$ の場合により

f (x - \frac{π}{2}) = sin (x - \frac{π}{2}) = cos x

である。

また $0 ≦ x ≦ π /2$ では

f (x) = {sin x 1 - sin x (0 ≦ x ≦ π /6), (π /6 ≦ x ≦ π /2)

である。よって $0 ≦ a ≦ π /6$ のとき $F (a) = \int_{0}^{a} sin x cos x d x = \frac{1}{2} sin^{2} a$ である。

次に $π /6 ≦ a ≦ π /2$ のとき、

F (a) = \int_{0}^{π /6} sin x cos x d x + \int_{π /6}^{a} (1 - sin x) cos x d x

である。第1項は $\int_{0}^{π /6} sin x cos x d x = \frac{1}{2} sin^{2} \frac{π}{6} = \frac{1}{8}$ であり、第2項は

\int_{π /6}^{a} (1 - sin x) cos x d x = [sin x - \frac{1}{2} sin^{2} x]_{π /6}^{a}

だから

= sin a - \frac{1}{2} sin^{2} a - (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) = sin a - \frac{1}{2} sin^{2} a - \frac{3}{8}

である。したがって $F (a) = sin a - \frac{1}{2} sin^{2} a - \frac{1}{4}$ となる。

以上より

F (a) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} sin^{2} a sin a - \frac{1}{2} sin^{2} a - \frac{1}{4} (0 ≦ a ≦ \frac{π}{6}), (\frac{π}{6} ≦ a ≦ \frac{π}{2})

である。 $a = π /6$ ではどちらも $1/8$ となるので、境目でも一致している。

九州大学 2006年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2006年度
理系数学第4問